Щодо гомеоморфізму в теорії графів див. Гомеоморфізм (теорія графів).

Класичний приклад гомеоморфізму: кухоль і бублик топологічно еквівалентні
Трилисник топологічно гомеоморфний тору. На перший погляд це здається нелогічним, але в чотиривимірному просторі вони неперервно деформуються один в другий

Не плутати з гомоморфізмом.

Топологічна еквівалентність перенаправляється сюди.

Для топологічної еквівалентності в динамічних системах, див. Топологічна спряженість[en].

У математичній частині топології гомеоморфізм, топологічний ізоморфізм або неперервна в обох напрямках функція – це неперервна функція між топологічними просторами, яка має неперервну обернену функцію. Гомеоморфізми є ізоморфізмами в, тобто відображення, що зберігають усі топологічні властивості[en] заданого простору. Два простори з гомеоморфізмом між ними називаються гомеоморфними, і з топологічної точки зору вони однакові. Слово гомеоморфізм походить від грецьких слів homoios (подібний) і morphe (форма) і було введено у математику в 1895 році Анрі Пуанкаре.[1][2]

Грубо кажучи, топологічний простір – це геометричний об'єкт, а гомеоморфізм – це неперервне розтягування і вигинання об'єкта в нову форму. Таким чином, квадрат і коло гомеоморфні один одному, а сфера і тор – ні. Однак цей опис може бути хибним. Деякі неперервні деформації не є гомеоморфізмами, наприклад, деформація прямої в точку.Деякі гомеоморфізми не є неперервними деформаціями, наприклад, гомеоморфізм між вузлом трилисника[en] і колом. Часто повторюваний математичний жарт полягає в тому, що топологи не можуть відрізнити чашку кави від пончика,[3] оскільки досить пластичному пончику можна надати форму чашки для кави, створивши ямку та поступово збільшуючи її, зберігаючи при цьому отвір для пончика в ручці чашки.

ОзначенняРедагувати

Нехай   і   — два топологічні простори.

Функція   називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також   і   неперервні.

Простори   та   у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.

Гомеоморфізм іноді називають взаємно неперервною функцією. Якщо така функція існує, то простори   та   є гомеоморфними. Автогомеоморфізм – це гомеоморфізм з топологічного простору на себе. Бути гомеоморфним – це відношення еквівалентності на топологічних просторах. Такі класи еквівалентності називаються гомеоморфними класами.

ВластивостіРедагувати

ПрикладиРедагувати

  • Довільний відкритий інтервал   гомеоморфний всій числовій прямій  . Гомеоморфізм   задається, наприклад, формулою
 
  • Одиничний двовимірний диск[en]   і одиничний квадрат в   є гомеоморфними,оскільки одиничний диск можна деформувати в одиничний квадрат.Прикладом взаємно неперервного відображення квадрату в диск в полярних координатах є
 .
  • Два гомеоморфних простори мають однакові топологічні властивості.
  • Але це не поширюється на властивості, похідні від метрики; з двох метричних гомеоморфних просторів один може бути повним, в той час як другий – ні.
  • Стереографічна проєкція – це гомеоморфізм між одиничною сферою в   з вилученою точкою і сукупністю всіх точок двовимірної площини  .
  • Якщо  топологічна група, то її відображення інверсії   є гомоморфізмом.

Також для будь-яких   лівий зсув  , правий зсув  , і внутрішній автоморфізм   є гомеоморфізмами.

Приклади відсутності гомеоморфізмуРедагувати

  •   і   не є гомоморфізмом при  .
  • Евклідова дійсна пряма негомеоморфна одиничному колу як підпростору  , оскільки одиничне коло є компактом як підпростір евклідового простору  , а дійсна пряма лінія не є компактом.
  • Одновимірні інтервали   і   не є гомеоморфними, оскільки неможливо побудувати неперервну бієкцію.[4]

Теорема про гомеоморфізмРедагувати

Нехай  інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).

Нехай  бієкція.

Тоді   є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли   є строго монотонна[en] і неперервна на  .

ЗауваженняРедагувати

Третя умова щодо неперервності відображення   є суттєвою. Розглянемо, наприклад, функцію   ( одиничне коло в  ) визначену як  . Ця функція є бієктивною і неперервною, але не є гомеоморфізмом компактом, а   — ні). Функція   не є неперервною в точці   тому, що хоча   відображає   в  , але будь-який окіл цієї точки також включає точки, які функція відображає в точки близькі до  . При цьому точки, які вона відображає у числа між ними, лежать за межами цього околу.[5]

Гомеоморфізми – це ізоморфізм в. Таким чином, композиція двох гомеоморфізмів знову є гомеоморфізмом, і множина всіх автогомеоморфізмів   утворює групу, яку називають групою гомеоморфізмів[en] топологічного простору  , яку часто позначають  . На цій групі можна задати топологію, наприклад, компактно-відкриту топологію, яка за певних припущень робить її топологічною групою. [6]

Для деяких цілей гомоморфічна група виявляється занадто великою, але за допомогою ізотопічного співвідношення можна звести цю групу до групи класів відображень[en]. Аналогічно, як зазвичай в теорії категорій, для заданих двох гомеоморфних просторів простір гомеоморфізмів   між ними є торсором[en] для груп гомеоморфізмів   і   і, враховуючи певний гомеоморфізм між   і  , всі три множини є ідентифікованими.

Неформальна дискусіяРедагувати

Інтуїтивний критерій розтягування, згинання, розрізання та зворотнього склеювання вимагає певної практики для правильного застосування, з опису вище — може бути неочевидним, наприклад, що деформація відрізка прямої до точки неприпустима. Тому важливо розуміти, що це має наведене вище формальне означення. У цьому випадку, наприклад, відрізок прямої має нескінченну кількість точок, і тому для нього не можна побудувати бієкцію з множиною, що містить лише скінченну кількість точок, зокрема і одну точку.

Така характеристика гомеоморфізму часто призводить до плутанини з поняттям гомотопії, яка насправді визначається, як неперервна деформація, але від однієї функції до іншої, а не від одного простору до іншого. У випадку гомеоморфізму уявлення про неперервну деформацію – це розумовий інструмент для відстеження того, які точки простору   відповідають яким точкам простору   – потрібно лише слідкувати за ними по мірі деформації простору  . У випадку гомотопії неперервна деформація від одного відображення до іншого має істотне значення, і воно також менш обмежувальне, оскільки жодне із залучених відображень не повинне бути один-до-одного або на. Гомотопія дійсно призводить до відношення на просторах: гомотопічна еквівалентність[en].

Існує назва для виду деформації, пов'язаної з візуалізацією гомеоморфізму. Це (за винятком випадків, коли потрібні розрізати та повторно склеювати) ізотопія між тотожним відображенням на   та гомеоморфізмом з   в  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. Analysis Situs selon Poincaré (1895). serge.mehl.free.fr. Архів оригіналу за 11 червня 2016. Процитовано 29 квітня 2018. 
  2. Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology. Courier. с. 67. Архів оригіналу за 18 травня 2022. Процитовано 18 травня 2022. 
  3. Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics 18. Springer. с. 204. ISBN 978-0-387-94377-0. Архів оригіналу за 27 лютого 2020. Процитовано 18 травня 2022. 
  4. Continuous bijection from (0,1) to [0,1]. Mathematics Stack Exchange. 1 червня 2011. Процитовано 2 квітня 2019. 
  5. Väisälä, Jussi: Topologia I, Limes RY 1999, p. 63. ISBN 951-745-184-9.
  6. Dijkstra, Jan J. (1 грудня 2005). On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology. The American Mathematical Monthly 112 (10): 910. doi:10.2307/30037630. Архів оригіналу за 16 вересня 2016. 

Зовнішні лінкиРедагувати