Компактно-відкрита топологія

Компактно-відкрита топологія — природна топологія на просторі неперервних відображень між топологічними просторами. Компактно відкрита топологія часто використовується у теорії гомотопій і функціональному аналізі.

ОзначенняРедагувати

Нехай   — простір неперервних відображень між двома топологічними просторами  . Компактно-відкритою топологією на цьому просторі називається топологія передбазу якої утворюють множини відображень виду

 

де  відкрита множина, а  компактний простір.

ПрикладиРедагувати

  • Якщо * є одноточковим топологічним простором то C(*, Y) можна ідентифікувати із Y. При цій ідентифікації компактно-відкрита топологія співпадає із топологією простору Y.
  • Більш загально, якщо X є дискретним простором, то C(X, Y) можна ідентифікувати із добутком |X| копій простору Y і компактно-відкрита топологія є рівною топології добутку.
  • Якщо Y є метричним простором (або, більш загально, рівномірним простором), тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології компактної збіжності. Тобто, якщо Y є метричним простором то послідовність { fn} збігається до f у компактно-відкритій топології якщо і тільки якщо для кожної компактної множини K у X, { fn} рівномірно збігається до f на K. Якщо X є компактним простором, а Y — рівномірним простором, тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології рівномірної збіжності.
  • Компактно-відкрита топологія широко використовується для таких важливих просторів:
    •  , простір петель для   у точці  .
    •  
    •  

ВластивостіРедагувати

  • Якщо X є гаусдорфовим простором і S є передбазою простору Y, тоді множини {V(KU) : US, K compact} утворюють передбазу компактно-відкритої топології на C(X, Y).
  • Якщо Z є підпростором Y (із індукованою топологією), то компактно-відкрита топологія на C(X, Z) є індукованою топологією від компактно-відкритої топології на просторі C(X, Y).
  • Якщо простір Y задовольняє аксіоми T0, T1, є гаусдорфовим, регулярним чи цілком регулярним то такі ж властивості має і компактно відкрита топологія на просторі C(X, Y).
  • Якщо X, Y, A і B є топологічними просторами, f : AX і g : YB — неперервні відображення, то можна задати відображення gf : C(X, Y) → C(A, B) як gf (k) = gkf. Дане відображення є неперервним, якщо на C(X, Y) і C(A, B) задано компактно-відкриті топології.
Нехай   є елементом передбази простору C(A, B), де де  відкрита множина, а  компактний простір. Тоді
  Але f (K) є компактною множиною у X, а g-1 (U) 'відкритою множиною у Y. Тому   Тобто прообрази елементів передбази простору C(A, B) є відкритими підмножинами у C(X, Y) і gf є неперервним відображенням.
  • У позначеннях попередньої властивості, якщо h : CA і j : BD є ще двома неперервними відображеннями, то (jh) ∘ (gf) = (j ∘ g)f ∘ h.
  • Якщо f, f'  : AX є парою гомотопно еквівалентних відображень і g, g'  : YB також є парою гомотопно еквівалентних відображень, тоді gf і g' f' є гомотопно еквівалентними.
  • Якщо X, Y і Z є топологічними просторами і Y є локально компактним і гаусдорфовим, то відображення C(Y, Z) × C(X, Y) → C(X, Z), задане як ( f , g) ↦  f  ∘ g, є неперервним (на всіх функційних просторах задана компактно-відкрита топологія, а на C(Y, Z) × C(X, Y) — топологія добутку).
  • Як частковий випадок попередньої властивості, якщо Y є локально компактним і гаусдорфовим, тоді відображення обчислення e : C(Y, Z) × YZ, задане як e( f , x) =  f (x), є неперервним. Ця властивість зводиться до попередньої, якщо за X взяти одноточковий простір.
  • Якщо X, Y і Z є топологічними просторами і відображення f : X × YZ є неперервним, то і відображення F : YC(X, Z) задане як (F(y))(x) = f (x, y) є неперервним (для компактно-відкритої топології на C(X, Z)). Якщо додатково простір X є локально компактним і гаусдорфовим, то правильним буде і обернене твердження, тобто із неперервності F випливає неперервність f. У цьому випадку одержується бієкція між C(X × Y, Z) і C(Y, C(X, Z)) яка є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів із компактно-відкритими топологіями.
  • Якщо X є компактним простором і Yметричним простором і з метрикою d, то компактно-відкрита топологія на C(X, Y) є метризовною із метрикою заданою як e( f , g) = sup{d( f (x), g(x)) : xX}, для f , gC(X, Y).

Властивості пов'язані із букетом просторів і смеш-добуткомРедагувати

Нижче   позначає букет просторів, а  смеш-добуток просторів, а всі функціональні простори наділені компактно-відкритою топологією.

  • Якщо X, Y і Z є топологічними просторами і X, Y є гаусдорфовим, то простори   і   є гомеоморфними.
  • Якщо X, Y і Z є топологічними просторами і X є гаусдорфовим, то простори   і   є гомеоморфними.
  • Для топологічних просторів X, Y і Z можна задати відображення:
  як  

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати