У математиці, зокрема в теорії множин, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.

Об'єднання множин
Зображення
Формула
Позначення у формулі , і
Зображений на [d]
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
Команда TeX \cup
CMNS: Об'єднання множин у Вікісховищі

доповнення

об'єднання
перетин

різниця

симетрична різниця
декартів добуток


Базові визначення ред.

Якщо A та B — множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого.

Об'єднання множин A та B позначається як «AB».

Формально:

x є елементом AB тоді й тільки тоді, коли
  • x є елементом A або
  • x є елементом B.

Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.

Алгебраїчні властивості ред.

Бінарна операція об'єднання є :

  • асоціативною, тобто A∪(BC) = (AB)∪C   (отже, коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: ABC);
  • комутативною, тобто AB = BA   (отже, порядок запису множин в виразі не має значення).

Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, Ø∪A = A, для будь-якої множини A.

Об'єднання довільної кількості множин ред.

В загальному випадку, якщо M — множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:

 

Позначення об'єднання довільної кількості множин такі:

  або  

Остання нотація може бути узагальнена до

 

що відповідає операції об'єднання колекції множин {Ai : i в I}. Тут I — множина, а Ai — множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є множиною індексів (натуральних чисел), і нотація є аналогічною узагальненій операції сумування:

 

Також можна записати «A1A2A3 ∪ ···».

Дистрибутивність об'єднання і перетину ред.

Перетин множин є дистрибутивним відносно об'єднання, тобто

 

Можна об'єднати таке нескінченне об'єднання з нескінченним перетином, отримавши співвідношення:

 

Див. також ред.

Джерела ред.