База топологіїмножина відкритих підмножин X така, що кожна відкрита множина є об'єднанням деяких елементів . Поняття бази — одне з основних в топології. У багатьох питаннях, що стосуються відкритих множин деякого простору, досить обмежитися розглядом елементів його бази. Простір може мати багато баз, найбільшу з яких утворює множина всіх відкритих множин.

База топології однозначно визначає топологію. Тому для визначення деякої топології на просторі Х достатньо визначити деяку базу, а за відкриті множини взяти всі можливі об'єднання елементів бази. Щоб система множин , була базою якоїсь топології простору Х, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла дві умови:

  1. Система є покриттям простору X.
  2. Для будь-яких двох елементів B1, B2 системи і будь-якої точки x з їхнього перетину знайдеться деякий елемент B3 системи який містить точку х і є підмножиною перетину B1, B2.

ПрикладиРедагувати

 

При цьому топологія на X × Y не залежатиме від того, які бази просторів X і Y використовуються для її завдання. Така топологія називається (стандартною) топологією декартового добутку топологічних просторів.

  • Топологія простору дійсних чисел   задається системою всіх інтервалів (а,b), яка складає базу цієї топології. Аналогічно топологія простору   задається базою відкритих елементів   і ця топологія, очевидно, збігається із стандартною топологією прямого добутку просторів.
  • Прикладом множини відкритих множин, що не є базою може бути наприклад множина інтервалів виду (−∞, a) і (a, ∞) де a — деяке дійсне число.

Пов'язані означенняРедагувати

  • Мінімум серед потужностей усіх баз називається вагою топологічного простору X.
  • В просторі ваги   існує усюди щільна множина потужності  .
  • Простори із зліченною базою називаються також просторами з другою аксіомою зліченності.
  • Локальною базою простору X в точці   (базою точки x) називається множина   його відкритих множин, що задовольняє властивість: для будь-якого околу Ox точки x знайдеться елемент   такий, що  .
  • Простори, що мають зліченну локальну базу в кожній точці, називаються просторами з першою аксіомою зліченності.
  • Нехай   — деякі кардинальні числа. База   простору X називається  -точковою, якщо кожна точка   належить не більше ніж   елементам сімейства  . Зокрема, при   база називається диз'юнктивною, при скінченному   — точково скінченною, при   — точково зліченною.

ВластивостіРедагувати

  • Множина   відкритих в X множин є базою тоді і тільки тоді, коли вона є локальною базою кожної точки простору X  .

Варіації і узагальненняРедагувати

  • Існує також двоїсте поняття замкнутої бази. Множина F підмножин топологічного простору називається замкнутою базою, якщо кожна відкрита підмножина може бути подана як перетин деяких елементів F.
  • Передбаза — множина Y відкритих підмножин топологічного простору X така, що сукупність всіх множин, що є перетином скінченного числа елементів Y, утворює базу простору X.

ЛітератураРедагувати