Нерівність трикутника

Нерівність трикутника — основна властивість геометричних фігур евклідового простору, відстані, що використовується в геометрії, функціональному аналізі.

Три приклади нерівності трикутника для трикутників зі сторонами з довжинами x, y, z. Верхній приклад показує випадок, коли z є значно меншою за суму інших двох сторін x + y, а нижній приклад показує випадок, коли сторона z є лише трошки меншою за x + y.

Вона стверджує, що будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю.

Нерівність трикутника входить як аксіома в визначення метрики простору, норми.

Евклідова геометріяРедагувати

 
Евклідова побудова доведення нерівності трикутника для планиметрії.

Нерівність трикутника є теоремою в Евклідовій геометрії, доведення наведено ще в «Началах» Евкліда.

В трикутнику   причому рівність   досягається тільки тоді, коли трикутник вироджений і точка   лежить строго між   та  .

Нормований простірРедагувати

 
Нерівність трикутника для норм векторів.

Якщо  нормований векторний простір, де   — довільна множина, а   — визначена на   норма. Тоді за визначенням норми:

 

Метричний простірРедагувати

Якщо  метричний простір, де   — довільна множина, а   — визначена на   метрика. Тоді за визначенням метрики:

 

Обернена нерівність трикутникаРедагувати

Наслідком нерівності трикутника в нормованому та метричному просторі є такі нерівності:

  •  
  •  

ДжерелаРедагувати

  • Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир.