Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, не залежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти зв'язані морфізмами (стрілками).

Теорія категорій посідає центральне місце в сучасній математиці[1], а також має застосування в інформатиці[2] та теоретичній фізиці[3][4]. Сучасне викладання алгебраїчної геометрії та гомологічної алгебри основане на теорії категорії. Поняття теорії категорій використане в мові функційного програмування Haskell.

ІсторіяРедагувати

Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням теорія категорій зобов'язана алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднуючу і уніфікуючу роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.

Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. визначився зростаючий інтерес до неабелевих категорій, викликаний задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному вивченню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозв'язок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і замкнутих категорій, була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).

ВизначенняРедагувати

КатегоріяРедагувати

Категорія   складається з класу  , елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу  , елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти наступним умовам:

  1. Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас  ; якщо  , то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f.
  2. Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу  .
  3. У класі   заданий частковий закон множення: добуток морфізмів   та   визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, він позначається   і належить класу  .
  4. Справедливий закон асоціативності:   для будь-яких морфізмів, для яких дані добутки визначені.
  5. У кожному класі   визначений такий морфізм  , що   для  ; морфізми   називаються одиничними, тотожними, або одиницями.
Замітка: клас об'єктів звичайно не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають множину, називається малою. Крім того, у принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розглядати категорії, в яких морфізми між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть велику структуру[5].

Приклади категорійРедагувати

Всі перераховані вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії з такою властивістю називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад, категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.

Комутативні діаграмиРедагувати

 
Категорія з об'єктами X, Y, Z та морфізмами f, g

Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:

ДвоїстістьРедагувати

Для категорії   можна визначити двоїсту категорію  , у якій:

  • об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії;
  • морфізми одержуються «обертанням стрілок»:  

Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).

Справедливий принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.

МорфізмиРедагувати

  • Морфізм   називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм  , що   та  . Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.
  • Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Множина ендоморфізмів   є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом  .
  • Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів   по композиції.
  • Мономорфізм — це морфізм   такий, що для будь-яких   з   випливає, що  .

Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

  • Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких   з   слідує  .
  • Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.

Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно.

Універсальні об'єктиРедагувати

Початковий (універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.

Якщо початкові об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.

Двоїстим чином визначається термінальний (універсально притягуючий) об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.

Приклад: У категорії Set ініціальним об'єктом є порожня множина  , термінальним — множина з одного елементу  .
Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються — це група з одного елементу.

Добуток і сума об'єктівРедагувати

добуток
кодобуток (пряма сума)
  • Добуток об'єктів   та  — це об'єкт   з морфізмами   та   такими, що для будь-якого об'єкта   з морфізмами   та   існує єдиний морфізм   такий, що  .

Морфізми   та   називаються проекціями.

  • Дуально визначається кодобуток (пряма сума):   об'єктів   і  . Відповідні морфізми   та   називаються вкладеннями. Не зважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.

Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

ПрикладиРедагувати

  • У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин  , а пряма сума — диз'юнктне об'єднання  .
  • У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток  , а прямий добуток — сума кілець  .
  • У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів  .

ФакторкатегоріяРедагувати

Факторкатегорія - конструкція, яка є аналогічною конструкції фактормножини або факторалгебри. Нехай   - довільна категорія, у класі морфізмів   задане відношення еквівалентності   яке задовільняє наступним умовам

  • якщо   то кінці морфізмів   та   співпадають
  • якщо   та добуток   визначений, то  

Через   позначається клас еквівалентності морфізму   Факторкатегорією категорії   по відношенню еквівалентності називається категорія   у якої ті самі об'єкти, що й у   а для будь-якої пари об'єктів   множина морфізмів   складається з класів еквівалентності   де   у   добуток морфізмів   визначається формулою  

Усяка мала категорія є факторкатегорії шляхів над підходячим орієнтованим графом.[6]

Ядерна пара морфізму - узагальнення поняття еквівалентности, індукованого відбраженням однієї множини у іншу. Морфізми   категорії   є ядерною парою морфізму   якщо   та якщо для пари довільних морфізмів   для якої   існує такий єдиний морфізм   що   та  

ФункториРедагувати

Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше

  • (Коваріантний) функтор   ставить у відповідність кожному об'єктові категорії   об'єкт категорії   і кожному морфізму   морфізм   так, що
    •   і
    •  .
  • Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з   у  , тобто «функтор, що перевертає стрілки».

Тензорна категоріяРедагувати

Нехай   категорія та нехай   — функтор, які називаються тензорним добутком. Категорія називається тензорною, якщо виконуються наступні умови:

  1. Заданий деякий ізоморфізм функторів   Це значить, що для   є ізоморфізм.
  2. Виконується аксіома п'ятикутника:  
  3. Є об'єкт   для якого задані натуральні ізоморфізми   та  
  4. Виконується аксіома трикутника:

 

Наприклад, для трійок   та   є такий ізоморфізм  , що діаграма

 

є комутативною.[7]

Категорія ДрінфельдаРедагувати

Володимир Гершонович Дрінфельд визначив квазітрикутну моноїдальну категорію. Нехай   — категорія, об'єктами якої є  -модулі, а   Це —  -лінійна адитивна категорія. Тепер нехай   Розгляньмо гомоморфізм   який визначається формулою  , і   Тут   є морфізмом асоціативності (асоціатором Дрінфельда). Через   позначений елемент Казіміра. Через   позначені співвідношення шестикутника. Для довільних   має місце тензорний добуток   Морфізм асоціативності   є елементом   Для   визначмо також зкручення   формулою   де   є перестановкою. Морфізми   визначають структуру квазітрикутної категорії на   [8]

Функтор СераРедагувати

Функтором Сера триангульованої  -лінійної  -скінченної категорії   є коваріантний адитивний функтор   який комутує із зсувами, якщо має місце автоеквівалентність   така, що мають місце біфункторіальні ізоморфізми

 

де   Якщо функтор Сера існує, то він єдиний з точністю до ізоморфізму.

Для гладкого проективного многовиду   розмірності   й канонічного пучка   класична двоїстість Сера

 

де   є наслідком того, що   є функтором Сера на довільній категорії обмежених комплексів когерентних пучків   Якщо на триангульованій  -лінійній  -скінченній категорії   є функтор Сера, то така категорія є категорією із двоїстістю Сера.

Нехай   — скінченновимірна алгебра над   яка має скінченну гомологічну розмірність,   — довільна категорія скінченновимірних лівих  -модулів. Наявні два функтори дуалізації, які переводять   у   (праві моулі), й навпаки:

 

 

Тут   — категорія скінченнопороджених модулів над скінченновимірною  -алгеброю   глобальної розмірності. Композиція   називається функтором Накаями й є функтором Сера у категорії  

Триагнульована  -лінійна  -скінченна категорія   називається категорією Калабі-Яу, якщо триангульований  -кратний функтор зсуву   є функтором Сера. Найменше   називається розмірністю Калабі-Яу категорії   й позначається   Якщо категорія   не є категорією Калабі-Яу, то  

Триангульовані категорії із двоїстістю Сера представляють інтерес тому, що на спадкових абелевих категоріях   Нетер є двоїстість Сера.[9]


МультикатегоріяРедагувати

Мультикатегорією є набір об'єктів   стрілок   оперція композиції визначається як у звичайній категорії. У звичайній категорії область визначення   - одиничний об'єкт, тоді як у мультикатегорії це скінченна множина об'єктів. Іншими словами, для звичайної категорії   тоді як у мультикатегорії  

ПриміткиРедагувати

  1. Хелемский А. Я. Лекції по функціональному аналізу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
  2. D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — в 1988. — XIII, 257 р. — ISBN 0-13-162736-8.
  3. Чи потрібна фізикам теорія категорій?
  4. Топоси для фізики. Архівовано 5 грудень 2008 у Wayback Machine. {ref-en}
  5. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.
  6. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985. 
  7. Тензорные категории и R - матрица для Uq(sl2). 
  8. В. Г. Дринфельд, О квазитреугольных квазихопфовых алгебрах и одной группе, тесно связанной с Gal(Q/Q), Алгебра и анализ, 1990, том 2, выпуск 4, 149–181. 
  9. А. И. Бондал, М. М. Капранов, Представимые функторы, функторы Серра и перестройки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1989, том 53, выпуск 6, 1183–1205. 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
  • Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.

ПосиланняРедагувати