Категорія добутку

Категорія добутку — категорія, що отримується з початкових категорій за допомогою їх добутку — операції, що узагальнює поняття декартового добутку множин.

Визначення

Категорію добутку C × D визначають так:

• об'єкти:

  пари об'єктів (A, B), де A — об'єкт C і B — об'єкт D;

• морфізми з (A₁, B₁) в (A₂, B₂):

  пари морфізмів (f, g), де f : A₁ → A₂ — морфізм у C і g : B₁ → B₂ — в D;

• правила композицій морфізмів:

  (f₂, g₂) o (f₁, g₁) = (f₂ o f₁, g₂ o g₁);

• тотожні морфізми:

  1_{(A, B)} = (1_A, 1_B).

Як і для множин, визначення тривіально узагальнюється на добуток n категорій. Операція добутку комутативна та асоціативна, з точністю до ізоморфізму.

Зв'язок з іншими категоріями

Функтор, область визначення якого — категорія добутку, називають біфунктором. Один з найважливіших функторів такого типу — функтор Hom.

Література

• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.