Відкрити головне меню

Функтор — відображення однієї категорії в іншу, узгоджене із структурою категорій. Функтори були вперше введені в алгебраїчній топології, де алгебраїчні структури пов'язуються з топологічними просторами, а їхні гомоморфізми — з неперервними відображеннями. В наш час[коли?] функтори використовуються в багатьох розділах математики для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт філософа Р. Карнапа.

ВизначенняРедагувати

Одномісним коваріантним функтором   з категорії   у категорію  , називається пара відображень     що позначаються звичайно однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:

  1.   для кожного  ;
  2.   для будь-яких морфізмів   і  .

Функтор з категорії  , двоїстої категорії  , у категорію   називається одномісним контраваріантним функтором з   у  . Таким чином для контраваріантного функтора   як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*)   для будь-яких морфізмів   .

n-містним функтором з категорій   в категорію  , коваріантним по аргументах   і контраваріантним по решті аргументів, називається функтор з декартового добутку категорій   у категорію  , де   при   і   при інших i. Двомісні функтори, коваріантні по обох аргументах, називаються біфункторами.

ПрикладиРедагувати

  1. Функтор  , що відображає кожен об'єкт категорії   в деякий фіксований об'єкт X категорії  , а кожен морфізм категорії   в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
  2. Тотожне відображення довільної категорії   в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається  .
  3. Нехай   — довільна категорія   — категорія множин, А — фіксований об'єкт з  . Зіставлення кожному   множини   і кожному морфізму   відображення  , де   для кожного  , є функтором з   у  . Цей функтор називається основним коваріантним функтором з   у   з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з   у   з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються   і   відповідно. Якщо   — категорія векторних просторів над полем K, то функтор   задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е*. У категорії топологічних абелевих груп функтор  , де Q — факторгрупа групи дійсних чисел по підгрупі цілих чисел, зіставляє кожній групі її групу характерів.

У будь-якій категорії зі скінченними добутками, добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний по всіх аргументах, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду універсальних алгебр, що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція фундаментальної групи топологічного простору, конструкції груп гомології і когомології різних розмірностей і т. д.

Будь-який функтор   визначає відображення кожної множини   в множину   зіставляючи морфізму   морфізм  . функтор F називається унівалентним, якщо всі вказані відображення ін'єктивні, і повним, якщо всі ці відображення сюр'єктивні.

ЛітератураРедагувати

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.