В теорії категорій множини Hom (тобто множини морфізмів між двома об'єктами локально малої категорії) дозволяють визначити важливі функтори в категорію множин. Ці функтори називаються функторами Hom і мають численні застосування в теорії категорій та інших областях математики.

ОзначенняРедагувати

Нехай Cлокально мала категорія. Тоді для будь-яких її об'єктів A, B визначено такі два функтора:

Hom(A,–) : CSet Hom(–,B) : CSet
Коваріантний функтор, що задається як:
  • Hom(A,-) відображає кожен об'єкт X категорії C у множину морфізмів Hom(A,X)
  • Hom(A,-) відображає кожен морфізм f: XY у функцію
    Hom(A, f): Hom(A, X) → Hom(A,Y), що задається як
      для кожного g в Hom(A, X).
Контраваріантний функтор, що задається як:
  • Hom(-,B) відображає кожен об'єкт X категорії C у множину морфізмів Hom(X, B)
  • Hom(-,B) відображає кожен морфізм h: XY у функцію
    Hom(h, B): Hom(Y,B) → Hom(X,B), що задається як
      для кожного g в Hom(Y,B).

Функтор Hom(-,B) також називають функтором точок об'єкта B.

Функтори Hom(A,–) і Hom(–,B) пов'язані між собою у натуральний спосіб. Для будь-якої пари морфізмів f : BB′ і h : A′ → A діаграма нижче комутує:

В обох випадках g : AB переводиться у fgh.

Також можна визначити біфунктор Hom(-, -) з C×C в Set, контраваріантний по першому аргументу і коваріантний по другому або, еквівалентно, функтор

Hom (-, -): Cop × CSet

де Copдвоїста категорія до C.

Внутрішній функтор HomРедагувати

У деяких категоріях можна ввести функтор, який схожий з функтором Hom, але значення якого лежать в самій категорії. Такий функтор називають внутрішнім функтором Hom і позначають

 

Категорії, що допускають внутрішній Hom-функтор, називаються замкнутими категоріями. Функтор   в таких категоріях переводить внутрішній функтор Hom у зовнішній. Точніше,

 

де   позначає натуральний ізоморфізм, натуральний за обома «аргументами». Оскільки в замкнутій категорії   (тут I — одиниця замкнутої категорії), це можна переписати як

 

У випадку замкнутої моноїдальної категорії це означення можна розширити до так званого каррінгу, тобто ізоморфізму

 

де   це  .

Пов'язані означенняРедагувати

  • Функтор виду Hom (-, C): CopSet є передпучком; відповідно, Hom(C, -) можна називати копередпучком.
  • Функтор F: CSet, який є натурально ізоморфним Hom (X, -) для деякого об'єкта C називається зображуваним функтором.
  • Hom (-, -): Cop×CSet є профунктором, а саме тотожним профунктором  .
  • Внутрішній функтор hom зберігає границі; а саме,   переводить границі в границі, а   — границі в кограниці. У певному сенсі, це можна вважати визначенням границі або кограниці.
  • Функтор Hom — приклад точного зліва функтора.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. Москва: Мир, 1972. 259 с.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — Москва: Наука, 1974.
  • Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.