Відкрити головне меню

Точний функторфунктор, який переводить точні послідовності в точні послідовності. Точні функтори є зручними для обчислень в гомологічній алгебрі, оскільки їх можна відразу застосовувати до резольвенти об'єктів. Велика частина гомологічної алгебри була побудована для того, щоб зробити можливою роботу з функторами, які є в певному сенсі близькими до точних.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Нехай   і  абелеві категорії і   — адитивний функтор. Розглянемо довільну коротку точну послідовність:

 

об'єктів  .

Якщо  коваріантний функтор,   називається:

  • Напівточним, якщо   є точною послідовністю;
  • Точним зліва, якщо   є точною послідовністю;
  • Точним справа, якщо   є точною послідовністю;
  • Точним, якщо   є точною послідовністю.

Якщо  контраваріантний функтор з   в  , то   називається:

  • Напівточним, якщо   є точною послідовністю;
  • Точним зліва, якщо   є точною послідовністю;
  • Точним справа, якщо   є точною послідовністю;
  • Точним, якщо   є точною послідовністю.

Не обов'язково брати в якості вихідної послідовність саме такого виду; наприклад, точний функтор можна визначити як функтор, що переводить точні послідовності виду   в точні послідовності.

Існує також більш загальне означення яке вводить поняття точних функторів для більш загальних категорій, не обов'язково абелевих: коваріантний функтор точний зліва тоді і тільки тоді, коли він переводить скінченні границі в границі. При заміні слова «коваріантний» на «контраваріантний» або «зліва» на «справа» потрібно одночасно замінити «границі» на «кограниці». Точний функтор — функтор, точний зліва і справа.

ПрикладиРедагувати

  • Будь-яка еквівалентність абелевих категорій є точним функтором.
  • Найбільш важливий приклад точного зліва функтора — функтор Hom. Якщо   — довільна локально мала абелева категорія і   — її об'єкт, то   — коваріантний адитивний функтор в категорію абелевих груп [1]. Цей функтор є точним тоді і тільки тоді, коли   є проективним модулем. Відповідно, контраваріантний функтор   є точним тоді і тільки тоді, коли   є ін'ективним модулем.
  • Нехай   є полем і  векторним простором над  . Функтор, що ставить векторному простору у відповідність його спряжений простір   є контраваріантним точним функтором з категорії  -векторних просторів у себе (оскільки   є ін'єктивним  -модулем).
  • Нехай  топологічний простір і розглянемо абелеву категорію всіх пучків абелевих груп на  . Функтор, що ставить у відповідність кожному такому пучку   групу глобальних перетинів   є точним зліва.
  • Якщо   — правий  -модуль, то можливо визначити функтор   з категорії лівих  -модулів в   за допомогою тензорного добутку  . Цей функтор є точним справа; він є точним тоді і тільки тоді, коли  плоский модуль.
  • Нехай   — комутативне кільце,   — його мультиплікативна підмножина. Функтор, що кожному  -модулю   ставить у відповідність модуль часток   є точним функтором із категорії  -модулів у категорію  -модулів.

ПриміткиРедагувати

  1. Jacobson, 2009, с. 98, Theorem 3.1

ЛітератураРедагувати