Відкрити головне меню

Абелева категорія — категорія, в якій морфізми можна додавати, існують ядра і коядра і при цьому виконуються деякі додаткові властивості. Прикладом, який став прототипом абелевої категорії є категорія абелевих груп. Поняття абелевої категорії було запропоновано Девідом Бухсбаумом у 1955 році (він використовував назву «точна категорія»). Згодом теорія була розроблена незалежно Александром Гротендіком для об'єднання декількох теорій когомологій. У той час існувала теорія когомологій пучків на алгебричних многовидах і теорія когомологій груп. Ці теорії вводилися по-різному, але мали подібні властивості. Гротендіку вдалося об'єднати ці теорії; обидві вони можуть бути визначені за допомогою похідних функторів на абелевій категорії пучків і абелевій категорії модулів відповідно.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Нижче подано два означення друге з яких є лише для локально малих категорій. У цьому випадку два означення є еквівалентними.

Перше означенняРедагувати

Категорія є абелевою, якщо:

Друге означенняРедагувати

Локально мала категорія   називається абелевою, якщо:

  • Для всіх об'єктів   на множині   можна ввести структуру абелевої групи.
  • Для морфізмів   і   виконуються рівності   і   (білінійність). Категорія, що задовольняє цим властивостям, називається преаддитивною.
  • Для довільної скінченної кількості об'єктів існує біпродукт — об'єкт, що є одночасно добутком і кодобутком об'єктів. Зокрема, у категорії є нульовий об'єкт — добуток порожньої множини об'єктів. Категорія, що задовольняє всі наведені властивості, називається аддитивною.
  • Для кожного морфізму існує ядро й коядро.
  • Всі мономорфізми і епіморфізми є нормальними.

ПрикладиРедагувати

  • Категорія абелевих груп є абелевою. Категорія скінченнопороджених абелевих груп також є абелевою, як і категорія скінченних абелевих груп.
  • Якщо   — кільце, то категорія лівих (або правих) модулів над   є абелевою. Згідно з теоремою Фрейда — Мітчелла про вкладення, будь-яка мала абелева категорія є еквівалентною повній підкатегорії категорії модулів.
  • Якщо   — нетерове зліва кільце, то категорія скінченнопороджених лівих  -модулів є абелевою. Зокрема, категорія скінченнопороджених модулів над нетеровим комутативним кільцем є абелевою.
  • Категорії векторних росторів і скінченновимірних векторних просторів над довільним полем є абелевими.
  • Якщо   — топологічний простір, то категорія пучків абелевих груп на   є абелевою.
  • Якщо   — топологічний простір, то категорія векторних розшарувань на   зазвичай не є абелевою, оскільки можуть існувати мономорфізми, що не є ядрами.

Аксіоми ГротендікаРедагувати

У статті Sur quelques points d'algebre homologique Гротендік запропонував кілька додаткових аксіом, які можуть виконуватися в абелевій категорії  .

  • AB3) Для будь-якої множини об'єктів   категорії   існує кодобуток  . Дана аксіома еквівалентна коповноті абелевої категорії   [1].
  • AB4)   задовольняє аксіомі AB3) і кодобуток будь-якої сім'ї мономорфізмів є мономорфізмом (тобто кодобуток є точним функтором).
  • AB5)   задовольняє аксіомі AB3) і Фільтровані кограниці[en] точних послідовностей є точними. Еквівалентно, для будь-якої ґратки   підоб'ектів об'єкта   і будь-якого   — підоб'єкту об'єкта   справедливою є рівність  

Аксіоми AB3 *), AB4 *) і AB5 *) отримуються з наведених вище аксіом як двоїсті їм (тобто заміною кограниці на границі. Аксіоми AB1) і AB2) — стандартні аксіоми, які виконуються в будь-якій абелевій категорії (точніше, абелева категорія є адитивною категорією, яка задовольняє цим аксіомам):

  • AB1) У будь-якого морфізму існує ядро й коядро.
  • AB2) Для будь-якого морфізму   канонічний морфізм з   в   є ізоморфізмом.

Гротендік також формулював сильніші аксіоми AB6) і AB6 *), проте не використовував їх у цій роботі. Зокрема AB6) мала вигляд

  • AB6) A задовольняє AB3), і для сім'ї фільтрованих категорій   і відображень  , виконується  , де lim позначає фільтровану кограницю.

ВластивостіРедагувати

  • Для пари об'єктів A, B в абелевій категорії, існує нульовий морфізм з A у B. Він є нульовим елементом Hom(A,B), що є абелевою групою. Також за означенням він є рівним композиції A → 0 → B, де 0 є нульовим об'єктом абелевої категорії.
  • В абелевій категорії кожен морфізм f є рівним композиції епіморфізму і мономорфізму. Епіморфізм називається кообразом f, а мономорфізм — образом f.
  • У локально малій категорії підоб'єкти довільного об'єкту утворюють модулярну ґратку.

ПриміткиРедагувати

  1. Weibel, 1994, с. 426-428

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати