Ланцюговий комплекс

Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри.

Ланцюговий комплекс

Ланцюговим комплексом називається послідовність $(K_{\bullet },\partial _{\bullet })$ модулів і гомоморфізмів $\partial _{n}:K_{n}\to K_{n-1}$, що називаються граничними операторами або диференціалами

$\ldots {\xleftarrow {}}K_{n-1}{\xleftarrow {\partial _{n}}}K_{n}{\xleftarrow {\partial _{n+1}}}K_{n+1}{\xleftarrow {}}\ldots$

така що $\partial _{n}\partial _{n+1}=0$. Елементи $K_{n}$ називаються n-мірними ланцюгами, елементи ядра $Z_{n}K=Ker\partial _{n}$ — n-вимірними циклами, елементи образа $B_{n}K=Im\partial _{n+1}$— n-вимірними границями. З $\partial _{n}\partial _{n+1}=0$ випливає, що $B_{n}K\subset Z_{n}K$ (т.зв. напівточність). Якщо до того ж $B_{n}K=Z_{n}K$, то такий комплекс називається точним.

Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами $~\varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet },\partial _{\bullet }^{K})\to (L_{\bullet },\partial _{\bullet }^{L})$, де $\varphi _{\bullet }$ послідовність морфізмів $\varphi _{n}\colon K_{n}\to L_{n}$, така що $\varphi _{n}$ комутує з диференціалом, тобто $\partial _{n}^{L}\varphi _{n}=\varphi _{n-1}\partial _{n}^{K}$.

Коланцюговий комплекс

Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів $(\Omega ^{\bullet },d^{\bullet })$ і гомоморфізмов $d^{n}\colon \Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}$, таких що

$d^{n+1}d^{n}=0$

Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.

$\ldots {\xrightarrow {}}\Omega ^{n-1}{\xrightarrow {d^{n-1}}}\Omega ^{n}{\xrightarrow {d^{n}}}\Omega ^{n+1}{\xrightarrow {d^{n+1}}}\ldots$

Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.

Гомології і когомології

n-вимірна група гомологій $H_{n}$ ланцюгового комплексу $(K_{\bullet },\partial _{\bullet })$ є його мірою точності в n-ому члені і визначається як

$H_{n}(K_{\bullet },\partial _{\bullet })=B_{n}(K)/Z_{n}(K)=\mathrm {Ker} \partial _{n}/\mathrm {Im} ,\partial _{n+1}$. Для точного комплексу $H_{n}=0$

Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:

$H^{n}(\Omega ^{\bullet },d^{\bullet })=B^{n}/Z^{n}=\mathrm {Ker} d^{n}/\mathrm {Im} ,d^{n-1}$

Приклади

Симпліційна гомологія

Нехай маємо симпліційний комплекс K.

Визначимо C_n(K) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:

$\partial _{n}:C_{n}(K)\to C_{n-1}(K):\,([v_{0},\ldots ,v_{n}]\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma ([v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]),$

Виконується властивість ∂² = 0, отже $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$ є ланцюговим комплексом; симпліційна гомологія $H_{\bullet }(X)$ визначається:

$H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/{\mbox{im }}\partial _{n+1}.$

Когомологія де Рама

Диференціальні k-форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір, що позначається Ω^k(M). Зовнішня похідна d_k є відображенням з Ω^k(M) в Ω^k+1(M), і d ² = 0, отже простори k-форм із зовнішньою похідною утворюють коланцюговий комплекс:

$\Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d_{0}}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \cdots .$

Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама:

$H_{\mathrm {DR} }^{k}(M)=\ker d_{k}/\mathrm {im} \,d_{k-1}.$

Гомоморфізми ланцюгових комплексів

Гомоморфізмом ланцюгових комплексів $(A_{\bullet },\delta _{\bullet })$ і $(B_{\bullet },\gamma _{\bullet })$ називається таке відображення $f\colon A_{n}\to B_{n},\forall n\in \mathbb {N} ,$ що наступна діаграма є комутативною:

Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій.

Ланцюгова гомотопія

Ланцюгова гомотопія $D\colon X\to Y$ між гомоморфізмами комплексів $f$ і $g$ — гомоморфізм ланцюгових комплексів $(X_{\bullet },\partial _{\bullet })$ і $(Y_{\bullet },\delta _{\bullet })$ ступеня +1 (тобто $D_{k}\colon X_{k}\to Y_{k+1}$), для якого

$\delta D+D\partial =g-f$

$\delta _{k+1}D_{k}+D_{k-1}\partial _{k}=g_{k}-f_{k}$

Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.

Див. також

• Ланцюг (алгебрична топологія)

Література

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
• Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966.
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.