Симпліційний комплекс

Симпліці́йний комплекс — спеціальний топологічний простір, утворений «склеюванням» точок, відрізків, трикутників, тетраедрів і симплексів вищих порядків. Широко використовується в алгебраїчній топології для обчислень, зокрема гомологічних груп.

Симпліційний 3-комплекс.
Приклад множини симплексів, що не є симпліційним комплексом.

ОзначенняРедагувати

Нехай   — вершини симплекса у векторному просторі   Позначимо   — симплекс, що є опуклою комбінацією цих точок (натягнутий на точки  ). Також позначимо   — відкритий симплекс з даними вершинами, тобто множина точок барицентричні координати яких більші нуля, тобто   де   і також  

Для позначення відкритого і відповідного замкнутого симплексів також використовуються позначення (s) і [s]. Замкнутою (відкритою) гранню симплекса   називається замкнутий (відкритий) симплекс натягнутий на деяку підмножину точок  

Симпліційним комплексом називається скінченна множина K відкритих симплексів, що задовольняє умови:

  1. Якщо   то всі відкриті грані замкнутого симплекса [s] теж належать K.
  2. Якщо   і також   то  

Еквівалентно можна визначити симпліційний комплекс, як скінченну множину K+ замкнутих симплексів, що задовольняє умови:

  1. Якщо   то всі замкнуті грані [s] теж належать K+.
  2. Якщо   то   є гранню обох симплексів  

Множина точок, що належать симплексам із множини K позначається [K] або |K|. Такі множини називаються поліедрами.

Підкомплексом симпліційного комплексу K називається симпліційний комплекс L, такий що з   випливає  

Розмірністю симпліційного комплексу називається найбільша з розмірностей симплексів, що входять до цього комплексу.

Підрозбиття симліційного комплексуРедагувати

Нехай K — симпліційний комплекс. Підрозбиттям цього симпліційного комплексу називається комплекс K', що задовольняє умови:

  1.   тобто множини точок обох поліедрів рівні.
  2. Якщо   то  

Барицентричне підрозбиттяРедагувати

Нехай   — деякий відкритий симплекс, що належить комплексу K. Барицентричним підрозбиттям цього симплекса називається симпліційний комплекс симплекси якого мають вигляд   де   — барицентр симплекса утвореного точками   а   — усі можливі перестановки точок   Розбивши таким чином усі симплекси комплексу K одержуємо барицентричне підрозбиття усього комплексу K. Дане підрозбиття позначається K(1). Індуктивно можна визначити підрозбиття K(n) для будь-якого цілого числа n.

Значення барицентричного підрозбиття полягає в тому, що воно в деякому сенсі, стає щоразу «дрібнішим». А саме якщо позначити:

 

де:

 

де метрика в даному випадку породжена евклідовою нормою, то виконується властивість:

  де m — розмірність комплексу K.

Зокрема:

 

Барицентричне підрозбиття пари симпліційних просторівРедагувати

Якщо K є симпліційним комплексом і L — його підкомплексом, то існує узагальнення барицентричного підрозбиття яке, умовно кажучи, розбиває лише ті симплекси, які не належать L. А саме кожен відкритий симплекс у K можна записати (після, можливо, перенумерації вершин) як   де   є симплексом, що належить L, і жодна грань вищої розмірності, що містить  , не належить L. Як крайні випадки жодна вершина   може не належати L або весь цей симплекс може належати L.

Для вказаного вище запису усі симплекси із вершинами   де   — барицентр симплекса утвореного точками   а   — усі можливі перестановки точок   є симплексами комплексу (K, L)' .

Загалом усі симплекси (K, L)' одержуються поділом усіх симплексів через записи їх у виді   де перші кілька вершин є вершинами максимальної грані симплекса, що належить L (один симплекс може мати кілька граней, що є для нього максимальними серед тих, що належать L).

Симпліційні відображенняРедагувати

Нехай K і L — два комплекси і v — відображення вершин комплексу K у вершини комплексу L. Це відображення v називається допустимим, якщо з того, що   — вершини деякого симплекса комплексу K, випливає, що   є вершинами деякого симплекса комплексу L; серед вершин   деякі можуть повторюватися. Кожне таке відображення визначає деяке відображення  , лінійне на кожному симплексі з K, тобто якщо   і:

 

тоді

 

Відображення   є неперервним. Його називають симпліційним відображенням поліедра |К| в |L|, оскільки воно узгоджується з розбиттям поліедрів |К| і |L| на симплекси і афінною структурою цих симплексів.

Симпліційне наближенняРедагувати

Нехай K — симпліційний комплекс і v — деяка його вершина. Тоді зіркою у вершині v називається множина:

 

Нехай K, L — симпліційні комплекси,   — неперервне відображення між відповідними поліедрами. Тоді симпліційне відображення   називається сипліційним наближенням f, якщо  

ВластивостіРедагувати

  •   є відкритою множиною у |K| і v є єдиною вершиною комплексу K, що належить  
  • Нехай   є симпліційним наближенням   і   Тоді   і   належать одному замкнутому симплексу в L.
  • Нехай   — симпліційне відображення і   його симпліційне наближення. Тоді  

Теорема про симпліційне наближенняРедагувати

Нехай   — неперервне відображення. Тоді для довільного   існують підрозбиття Kn для K і Lm для L, що існує симпліційне наближення   відображення f, для якого:

 

де

 

Пов'язані визначенняРедагувати

  • n-вимірним кістяком комплексу називають підкомплекс, утворений усіма його симплексами розмірності не більше n.
  • Розмірність симпліційного комплексу визначають як найбільшу розмірність його симплексів.

Нехай K — симпліційний комплекс, і S — деякий набір симплексів у K.

  • Замикання   (позначають  ) — найменший підкомплекс у  , який містить кожен симплекс із  . Замикання   можна отримати додаванням до   усіх граней усех симплексів із  .
  • Зірка від   (позначають  ) — об'єднання зірок усіх симплексів у  . Для одного симплекса   зірка   — це набір симплексів, які мають   своєю гранню. (Зірка  , як правило, не є симпліційним комплексом).
  • Лінк   (позначають  ) можна визначити як
     
    Це — підкомплекс, утворений усіма симплексами, що входять у симплекси вищої розмірності разом зі симплексом із   але які не мають граней із  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1986,
  • П. Хилтон, С. Уайли Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. – М.: Мир, 1966. – 452 с.
  • Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3

ПосиланняРедагувати