Симпліційний комплекс

Симпліці́йний комплекс — спеціальний топологічний простір, утворений «склеюванням» точок, відрізків, трикутників, тетраедрів і симплексів вищих порядків. Широко використовується в алгебраїчній топології для обчислень, зокрема гомологічних груп.

Симпліційний 3-комплекс.

Приклад множини симплексів, що не є симпліційним комплексом.

Означення

Нехай $\ v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ — вершини симплекса у векторному просторі $\mathbb {R} ^{n}.$ Позначимо $[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}]$ — симплекс, що є опуклою комбінацією цих точок (натягнутий на точки $v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$). Також позначимо $(v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k})$ — відкритий симплекс з даними вершинами, тобто множина точок барицентричні координати яких більші нуля, тобто $x=\alpha _{0}\cdot v_{0}+\alpha _{1}\cdot v_{1}+\alpha _{2}\cdot v_{2}+\ldots +\alpha _{k}\cdot v_{k},$ де $\alpha _{0}+\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}=1$ і також $\alpha _{i}>0,\;i={\overline {0,k}}.$

Для позначення відкритого і відповідного замкнутого симплексів також використовуються позначення (s) і [s]. Замкнутою (відкритою) гранню симплекса $[s]=[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}]$ називається замкнутий (відкритий) симплекс натягнутий на деяку підмножину точок $v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}.$

Симпліційним комплексом називається скінченна множина K відкритих симплексів, що задовольняє умови:

1. Якщо $(s)\in K,$ то всі відкриті грані замкнутого симплекса [s] теж належать K.
2. Якщо $(s_{1}),(s_{2})\in K,$ і також $(s_{1})\cap (s_{2})\neq \varnothing ,$ то $(s_{1})=(s_{2}).$

Еквівалентно можна визначити симпліційний комплекс, як скінченну множину K⁺ замкнутих симплексів, що задовольняє умови:

1. Якщо $[s]\in K^{+},$ то всі замкнуті грані [s] теж належать K⁺.
2. Якщо $[s_{1}],[s_{2}]\in K^{+},$ то $[s_{1}]\cap [s_{2}]$ є гранню обох симплексів $[s_{1}],[s_{2}].\,$

Множина точок, що належать симплексам із множини K позначається [K] або |K|. Такі множини називаються поліедрами.

Підкомплексом симпліційного комплексу K називається симпліційний комплекс L, такий що з $(s)\in L$ випливає $(s)\in K.$

Розмірністю симпліційного комплексу називається найбільша з розмірностей симплексів, що входять до цього комплексу.

Підрозбиття симліційного комплексу

Нехай K — симпліційний комплекс. Підрозбиттям цього симпліційного комплексу називається комплекс K', що задовольняє умови:

1. $|K|=|K^{'}|,$ тобто множини точок обох поліедрів рівні.
2. Якщо $(s)\in K^{'},$ то $(s)\subset (t),\,(t)\in K.$

Барицентричне підрозбиття

Нехай $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})\in K$ — деякий відкритий симплекс, що належить комплексу K. Барицентричним підрозбиттям цього симплекса називається симпліційний комплекс симплекси якого мають вигляд $(b(p_{0}),b(p_{0},p_{1}),\ldots ,b(p_{0},\ldots ,p_{k})),$ де $b(p_{0},\ldots ,p_{k}),\,k\leqslant n$ — барицентр симплекса утвореного точками $p_{0},p_{1},\dots ,p_{k},$ а $p_{0},p_{1},\dots ,p_{n}$ — усі можливі перестановки точок $v_{0},v_{1},\dots ,v_{n}.$ Розбивши таким чином усі симплекси комплексу K одержуємо барицентричне підрозбиття усього комплексу K. Дане підрозбиття позначається K⁽¹⁾. Індуктивно можна визначити підрозбиття K⁽ⁿ⁾ для будь-якого цілого числа n.

Значення барицентричного підрозбиття полягає в тому, що воно в деякому сенсі, стає щоразу «дрібнішим». А саме якщо позначити:

$\operatorname {mesh} \,K=\max _{(s)\in K}\,\operatorname {diam} [s]$

де:

$\operatorname {diam} \,T=\sup _{t_{1},t_{2}\in T}\rho (t_{1},t_{1}),$

де метрика в даному випадку породжена евклідовою нормою, то виконується властивість:

$\operatorname {mesh} \,K^{(1)}\leqslant {\frac {m}{m+1}}\operatorname {mesh} \,K,$ де m — розмірність комплексу K.

Зокрема:

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {mesh} \,K^{(n)}=0$

Барицентричне підрозбиття пари симпліційних просторів

Якщо K є симпліційним комплексом і L — його підкомплексом, то існує узагальнення барицентричного підрозбиття яке, умовно кажучи, розбиває лише ті симплекси, які не належать L. А саме кожен відкритий симплекс у K можна записати (після, можливо, перенумерації вершин) як $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$ де $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{s})$ є симплексом, що належить L, і жодна грань вищої розмірності, що містить $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{s})$, не належить L. Як крайні випадки жодна вершина $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$ може не належати L або весь цей симплекс може належати L.

Для вказаного вище запису усі симплекси із вершинами $(v_{0},\ldots ,v_{s},b(v_{0},\ldots ,p_{s+1}),\ldots ,b(v_{0},\ldots ,p_{n})),$ де $b(v_{0},\ldots ,v_{s},\ldots p_{k}),\,s\leqslant k\leqslant n$ — барицентр симплекса утвореного точками $v_{0},\ldots ,v_{s},\ldots p_{k}$ а $p_{s+1},p_{s+2},\dots ,p_{n}$ — усі можливі перестановки точок $v_{s+1},v_{s+2},\dots ,v_{n}$ є симплексами комплексу (K, L)' .

Загалом усі симплекси (K, L)' одержуються поділом усіх симплексів через записи їх у виді $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$ де перші кілька вершин є вершинами максимальної грані симплекса, що належить L (один симплекс може мати кілька граней, що є для нього максимальними серед тих, що належать L).

Симпліційні відображення

Нехай K і L — два комплекси і v — відображення вершин комплексу K у вершини комплексу L. Це відображення v називається допустимим, якщо з того, що $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$ — вершини деякого симплекса комплексу K, випливає, що $v(a_{0}),v(a_{1}),\dots ,v(a_{n})$ є вершинами деякого симплекса комплексу L; серед вершин $v(a_{0}),v(a_{1}),\dots ,v(a_{n}),$ деякі можуть повторюватися. Кожне таке відображення визначає деяке відображення ${\tilde {v}}$, лінійне на кожному симплексі з K, тобто якщо $(s)=(v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k})$ і:

$p=\sum _{i=0}^{k}a_{i}v_{i}\,\in (s)$

тоді

${\tilde {v}}(p)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}{\tilde {v}}(v_{i}).$

Відображення ${\tilde {v}}$ є неперервним. Його називають симпліційним відображенням поліедра |К| в |L|, оскільки воно узгоджується з розбиттям поліедрів |К| і |L| на симплекси і афінною структурою цих симплексів.

Симпліційне наближення

Нехай K — симпліційний комплекс і v — деяка його вершина. Тоді зіркою у вершині v називається множина:

$\operatorname {St} (v)\cup _{v\in [s],(s)\in K}(s).$

Нехай K, L — симпліційні комплекси, $f:|K|\to |L|$ — неперервне відображення між відповідними поліедрами. Тоді симпліційне відображення $\phi :K\to L$ називається сипліційним наближенням f, якщо $f(\operatorname {St} (v))\subset \operatorname {St} (\phi (v)),\,\,\forall v\in K.$

Властивості

• $\operatorname {St} (v)$ є відкритою множиною у |K| і v є єдиною вершиною комплексу K, що належить $\operatorname {St} (v).$
• Нехай $\phi :K\to L$ є симпліційним наближенням $f:|K|\to |L|$ і $p\in |K|.$ Тоді $f(p)$ і $\phi (p)$ належать одному замкнутому симплексу в L.
• Нехай $f:K\to L$ — симпліційне відображення і $\phi$ його симпліційне наближення. Тоді $\phi =f.$

Теорема про симпліційне наближення

Нехай $f:|K|\to |L|$ — неперервне відображення. Тоді для довільного $\varepsilon >0$ існують підрозбиття K_n для K і L_m для L, що існує симпліційне наближення $\phi :K_{n}\to L_{m}$ відображення f, для якого:

$d(f,\phi )<\varepsilon$

де

$d(f,\phi )\sup _{p\in |K|}\rho (f(p),\phi (p)).$

Пов'язані визначення

• n-вимірним кістяком комплексу називають підкомплекс, утворений усіма його симплексами розмірності не більше n.

• Розмірність симпліційного комплексу визначають як найбільшу розмірність його симплексів.

Нехай K — симпліційний комплекс, і S — деякий набір симплексів у K.

• Замикання $S$ (позначають ${\textrm {Cl}}S$) — найменший підкомплекс у $K$, який містить кожен симплекс із $S$. Замикання ${\bar {S}}$ можна отримати додаванням до $S$ усіх граней усех симплексів із $S$.

• 
  Два симплекси та їх замикання.

• Зірка від $S$ (позначають ${\textrm {St}}S$) — об'єднання зірок усіх симплексів у $S$. Для одного симплекса $S$ зірка $S$ — це набір симплексів, які мають $S$ своєю гранню. (Зірка $S$, як правило, не є симпліційним комплексом).

• 
  Вершина та її зірка
• 
  Вершина та її лінк

• Лінк $S$ (позначають ${\textrm {Lk}}S$) можна визначити як
  ${\textrm {Lk}}S={\textrm {Cl}}({\textrm {St}}S)\backslash {\textrm {St}}({\textrm {Cl}}S).$
  Це — підкомплекс, утворений усіма симплексами, що входять у симплекси вищої розмірності разом зі симплексом із $S,$ але які не мають граней із $S$.

Див. також

• Абстрактний симпліційний комплекс
• Барицентричні координати
• Симплекс
• Симпліційна гомологія
• Теорема Крускала — Катони
• Симпліційний многогранник
• Симпліційна сфера

Література

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1986,
• П. Хилтон, С. Уайли Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. – М.: Мир, 1966. – 452 с.
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3

Посилання

• Weisstein, Eric W. Simplicial complex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.