Симплекс або n-вимірний тетраедр (від лат. simplex — простий) — геометрична фігура, що є багатовимірним узагальненням трикутника і тетраедра. Визначається як опукла оболонка n+1 точок, що не лежать в одній n-1 -вимірній гіперплощині. Ці точки називаються вершинами симплексу.

ПобудоваРедагувати

Як відомо, через будь-які n точок можна провести (n-1)-площину і існують множини з n+1 точок, через які (n-1)-площину провести не можна. Таким чином n+1 — мінімальна кількість точок в n-просторі, які не лежать в одній (n-1)-площині, і можуть бути вершинами n-многогранника, тобто, n-симплекс являє собою джойн n+1 точок.

Простий n-многогранник з кількістю вершин n+1 називається симплексом. У просторах найменших розмірностей цьому визначенню відповідають 4 фігури:

Всі ці фігури володіють трьома загальними властивостями:

  1. Відповідно до визначення, число вершин у кожної фігури на одиницю більше розмірності простору;
  2. Існує загальне правило перетворення фігур нижчої розмірності у фігури вищої розмірності. Воно полягає в тому, що з геометричного центра фігури будується перпендикуляр в наступний вимір, на цьому перпендикулярі будується нова вершина і з'єднується ребрами зі всіма вершинами початкового симплексу;
  3. Як випливає з описаної в п. 2 процедури, будь-яка вершина симплекса сполучена ребрами зі всією рештою вершин.

Кількість граней симплексаРедагувати

Симплекс має n+1 вершин, кожна з яких сполучена ребрами зі всією рештою вершин.

Оскільки всі вершини симплексу сполучені між собою, то тією ж властивістю володіє і будь-яка підмножина його вершин. Це значить, що будь-яка підмножина з L+1 вершин симплексу визначають його L-вимірну грань, і ця грань сама є L-симплексом. Тоді для симплексу число L-вимірних граней рівне числу способів вибрати L+1 вершину з повного набору n+1 вершин.

Позначимо символом K(L, n) число L-вимірних граней в n-многограннику, тоді для n-симплексу

 

де   — число комбінацій з n по m.

Зокрема, кількість граней найбільшої розмірності рівна кількості вершин і рівна n+1:

 

Стандартний симплексРедагувати

 
Зелений трикутник — стандартний 2-симплекс

Стандартний n-симплекс ця підмножина  , що визначається як:

 

Його вершинами є точки:

e0=(1, 0 . 0): e1=(0, 1 . 0)
.
en=(0, 0 . 1)

Існує канонічне бієктивне відображення стандартного n-симплекса в будь-якій іншої n-симплекс з координатами вершин  :

 

Значення ti для даної точки називаються її барицентричними координатами.

Зростаючі координатиРедагувати

Альтернативну координатну систему можна визначити взявши:

 

Тоді точки симплекса визначаються векторами з неспадними координатами між 0 and 1:

 

Геометричні властивостіРедагувати

Симплекс називається правильним, якщо всі його ребра мають однакову довжину: наприклад, правильний трикутник або правильний тетраедр. Правильний симплекс завжди є правильним многогранником.

Орієнтований об'єм n-симплекса в n-вимірному евклідовому просторі можна визначити за формулою:

 

Визначник Келі-Менгера дозволяє обчислити об'єм симплексу, знаючи довжини його ребер:

 

де   — відстань між i-й і j-й вершинами, n — розмірність простору. Ця формула — узагальнення формули Герона для трикутників.

Об'єм правильного n-симплекса з одиничною стороною рівний  

Якщо задано   додатних дійсних чисел   то симплекс відстань між відповідними вершинами якого рівна цим числам існує тоді і тільки тоді, коли   де матриця D визначається:

 

Еквівалентно такий симплекс існує, якщо і тільки якщо квадратна матриця A розмірності n елементи якої визначаються:

 

є додатноозначеною. Дана матриця є матрицею Грама для векторів  

Формули для правильного симплексуРедагувати

Число L-мірних граней  
Висота          
Об'єм          
Радіус описаної сфери          
Радіус вписаної сфери          
Двогранний кут  

Співвідношення між величинами:

 
 
 
 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

ЛанкиРедагувати