Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника за даними довжинами його сторін , і .

Трикутник із сторонами a, b й c.

, де  — половина периметру трикутника або півпериметр.

Також, розписуючи вираз під коренем і використовуючи формули для квадрату двочлена і різниці квадратів, можна одержати еквівалентні варіанти формули:

Доведення (тригонометричне)Редагувати

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника:  , де   — кут трикутника, що лежить навпроти сторони  .

Згідно з теоремою косинусів  . Звідси  .

Тому  

 
 .

Оскільки справедливі рівності  ,  ,  ,  , отримуємо, що

 

Таким чином,  .

Доведення (геометричне)Редагувати

Нехай дано трикутник  ,   та   — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони  ) коло відповідно,   — центр вписаного кола   (інцентр, точка перетину бісектрис),   — центр зовнівписаного кола   (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай   — точка дотику вписаного кола до сторони  , а   — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони  . Тоді   — радіус вписаного кола  ,   — радіус зовнівписаного кола  , і нехай   — півпериметр трикутника  ..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що  ,  ,  , a  , причому   та  .

Звідси маємо, що трикутники   та   подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом  ). Тому  , тобто  . Звідси  .

Знайдемо кут  . Оскільки   — прямокутний, то  . За побудовою   — бісектриса кута   (як зовнішній кут), а тому  . Звідси  .

Але також  , оскільки   — бісектриса кута  . Отримали, що трикутники   та   подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому  , тобто  . Звідси  .

З рівностей   одержимо, що  . Замінивши   по вище доведеній формулі  , одержимо остаточно  , або, що те саме,  .

Варіації й узагальненняРедагувати

  • Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді[1]:
     
Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера[en] для обчислення гіпероб'єму симплекса.
  • Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан  ,   и   і їх півсуму  [2]:
 ;
через довжини висот  ,   и   і півсуму їх обернених величин  [3]:
 ;
через кут трикутника  ,   і  , півсуму їх синусів   і діаметр описаного кола  [4]:
 

Формула Герона — ТартальїРедагувати

Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї, узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник): якщо в тетраедра довжини ребер рівні  , то для його об'єму   істинний вираз:

 .

Формулу Герона — Тартальї можна выписати для тетраедра в явному вигляді: якщо  ,  ,  ,  ,  ,   — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро   протлежне ребру   і так далі), то справедливі формули[5][6]:

 
де:
 .

Теорема ЛюїльєРедагувати

За теоремою Люїльє площа сферичного трикутника виражається через його сторони   как:

 ,
де   — півпериметр.

Формула БрамагуптиРедагувати

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

 

У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник[7]:

 

ПриміткиРедагувати

  1. Weisstein, Eric W. Heron's Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  2. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
  3. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  4. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
  5. W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.
  6. Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
  7. Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39

ПосиланняРедагувати