Формула Герона

Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника $S$ за даними довжинами його сторін $a$, $b$ і $c$.

Трикутник із сторонами a, b й c.

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$, де $p={\frac {a+b+c}{2}}\,$  — половина периметру трикутника або півпериметр.

Також, розписуючи вираз під коренем і використовуючи формули для квадрата двочлена і різниці квадратів, можна одержати еквівалентні варіанти формули:

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}$

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.$

Доведення (тригонометричне)

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: $S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }$, де $\ \gamma$ — кут трикутника, що лежить навпроти сторони $c$.

Згідно з теоремою косинусів $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$. Звідси $\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}$.

Тому $\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$

$={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}=$

$={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Оскільки справедливі рівності $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, отримуємо, що

$\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.$

Таким чином, $S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Доведення (геометричне)

Ілюстрація до доведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола

Нехай дано трикутник $ABC$, $w_{1}$ та $w_{2}$ — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони $BC$) коло відповідно, $I$ — центр вписаного кола $w_{1}$ (інцентр, точка перетину бісектрис), $I_{a}$ — центр зовнівписаного кола $w_{2}$ (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай $K$ — точка дотику вписаного кола до сторони $AB$, а $T$ — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони $AB$. Тоді $IK=r$ — радіус вписаного кола $w_{1}$, $I_{a}T=r_{a}$ — радіус зовнівписаного кола $w_{2}$, і нехай $p={\frac {a+b+c}{2}}$ — півпериметр трикутника $ABC$..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що $AK=p-a$, $KB=p-b$, $BT=p-c$, a $AT=p$, причому $IK\perp AB$ та $I_{a}T\perp AB$.

Звідси маємо, що трикутники $AIK$ та $AI_{a}T$ подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом $\angle IAK$). Тому ${\frac {AK}{AT}}={\frac {IK}{I_{a}T}}$, тобто ${\frac {p-a}{p}}={\frac {r}{r_{a}}}$. Звідси $r_{a}(p-a)=pr=S$.

Знайдемо кут $\angle BI_{a}T$. Оскільки $\bigtriangleup BI_{a}T$ — прямокутний, то $\angle BI_{a}T=90^{\circ }-\angle I_{a}BT$. За побудовою $BI_{a}$ — бісектриса кута $\angle CBT=180^{\circ }-\angle B$ (як зовнішній кут), а тому $\angle I_{a}BT={\frac {\angle CBT}{2}}={\frac {180^{\circ }-\angle B}{2}}=90^{\circ }-{\frac {\angle B}{2}}$. Звідси $\angle BI_{a}T={\frac {\angle B}{2}}$.

Але також $\angle BIK={\frac {\angle B}{2}}$, оскільки $BI$ — бісектриса кута $\angle B$. Отримали, що трикутники $BI_{a}T$ та $BIK$ подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому ${\frac {I_{a}T}{BK}}={\frac {BT}{IK}}$, тобто ${\frac {r_{a}}{p-b}}={\frac {p-c}{r}}$. Звідси $r_{a}r=(p-b)(p-c)$.

З рівностей $r_{a}(p-a)=pr=S$ одержимо, що $S^{2}=p(p-a)r_{a}r$. Замінивши $r_{a}r$ по вище доведеній формулі $r_{a}r=(p-b)(p-c)$, одержимо остаточно $S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)$, або, що те саме, $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Варіації й узагальнення

• Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді:

  $-16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$

Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера для обчислення гіпероб'єму симплекса.

• Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан $m_{a}$, $m_{b}$ и $m_{c}$ і їх півсуму $\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2$:

$S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}$;

через довжини висот $h_{a}$, $h_{b}$ и $h_{c}$ і півсуму їх обернених величин $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$:

$S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}$;

через кут трикутника $\alpha$, $\beta$ і $\gamma$, півсуму їх синусів $s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2$ і діаметр описаного кола $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}$:

$S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.$

Формула Герона — Тартальї

Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї, узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник): якщо в тетраедра довжини ребер рівні $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$, то для його об'єму $V$ істинний вираз:

${\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}$.

Формулу Герона — Тартальї можна виписати для тетраедра в явному вигляді: якщо $U$, $V$, $W$, $u$, $v$, $w$ — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро $u$ протлежне ребру $U$ і так далі), то справедливі формули:

${\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}$

де:

${\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}$.

Теорема Люїльє

За теоремою Люїльє площа сферичного трикутника виражається через його сторони $\theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}$ как:

$S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}$,

де $\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}$ — півпериметр.

Формула Брамагупти

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник:

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Формула Герона(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2