Відкрити головне меню
Трикутник із сторонами a, b й c.

Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника за даними довжинами його сторін , і .

, де  — половина периметру трикутника.

Доведення (тригонометричне)Редагувати

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника:  , де   — кут трикутника, що лежить навпроти сторони  .

Згідно з теоремою косинусів  . Звідси  .

Тому  

 
 .

Оскільки справедливі рівності  ,  ,  ,  , отримуємо, що

 

Таким чином,  .

Доведення (геометричне)Редагувати

Нехай дано трикутник  ,   та   — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони  ) коло відповідно,   — центр вписаного кола   (інцентр, точка перетину бісектрис),   — центр зовнівписаного кола   (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай   — точка дотику вписаного кола до сторони  , а   — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони  . Тоді   — радіус вписаного кола  ,   — радіус зовнівписаного кола  , і нехай   — півпериметр трикутника  ..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що  ,  ,  , a  , причому   та  .

Звідси маємо, що трикутники   та   подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом  ). Тому  , тобто  . Звідси  .

Знайдемо кут  . Оскільки   — прямокутний, то  . За побудовою   — бісектриса кута   (як зовнішній кут), а тому  . Звідси  .

Але також  , оскільки   — бісектриса кута  . Отримали, що трикутники   та   подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому  , тобто  . Звідси  .

З рівностей   одержимо, що  . Замінивши   по вище доведеній формулі  , одержимо остаточно  , або, що те саме,  .

Формула БрамагуптиРедагувати

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

 

ПосиланняРедагувати