Відкрити головне меню

Формула Брамагупти

математична формула, яка виражає площу вписаного у коло чотирикутника як функцію довжин його сторін

Фо́рмула Брамагу́пти (англ. Brahmagupta's formula) — математична формула, яка виражає площу вписаного у коло чотирикутника як функцію довжин його сторін.

Якщо вписаний у коло чотирикутник має довжини сторін і півпериметр , то його площа виражається формулою:


Зміст

Варіації й узагальненняРедагувати

  • Формула Брамагупти узагальнює формулу Герона для визначення площі трикутника на випадок вписаного у коло чотирикутника: достатньо вважати, що довжина однієї із сторін дорівнює нулю (наприклад,  ) і формула Брамагупти зводиться до формули Герона.
  • На випадок довільних чотирикутників формула Брамагупти може бути узагальнена так:
 
де   — півсума протилежних кутів чотирикутника. Яку саме пару протилежних кутів взяти, ролі не відіграє, так як якщо півсума однієї пари протилежних кутів дорівнює  , то півсума двох інших кутів буде  , і  .

Інколи цю загальнішу формулу записують так:

 ,
де   и   — довжини діагоналей чотирикутника.
  • Математик Девід П. Роббінс (англ. David P. Robbins) довів[1], що для довільного вписаного многокутника з   сторонами величина   є коренем деякого многочлена  , коефіцієнти якого у свою чергу є многочленами від довжин сторін. Він знайшов ці многочлени для   та  . Іншими авторами встановлено[2], що многочлен   можна обрати так, щоб його старший коефіцієнт дорівнював одиниці, а степінь   дорівнював  , при   і  , якщо  . Тут
 
де   — біноміальні коефіцієнти. Для многокутників з невеликим числом сторін маємо  ,  ,  ,   (Послідовність A000531 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) і  ,  ,  ,   (Послідовність A107373 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
  • Якщо у формулі Брамагупти виразити півпериметр через півсуму усіх сторін даного чотирикутника, піднести обидві частини до квадрату, помножити на -16, розкрити дужки та звести подібні, то вона набуде вигляду:
 
  • Права частина рівняння буде збігатись з розкладом визначника, поданого нижче, якщо його помножити на -1. Тому можна написати, що[3]
 

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. D. P. Robbins Areas of polygons inscribed in a circle. // Discrete & Computational Geometry — 12, 1994 — P. 223—236.
  2. Maley, F. Miller; Robbins, David P.; Roskies, Julie (2005). On the areas of cyclic and semicyclic polygons. Advances in Applied Mathematics 34 (4): 669–689. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008. 
  3. Стариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39

ДжерелаРедагувати