Теорема Брамагупти

Теоре́ма Брамагу́пти (англ. Brahmagupta's Theorem) — теорема елементарної геометрії про одну з властивостей вписаного у коло чотирикутника, доведена у сьомому столітті нашої ери індійським математиком Брамагуптою і носить його ім'я.

Формулювання теореми

${\overline {BD}}\perp {\overline {AC}},{\overline {EF}}\perp {\overline {BC}}$ $\Rightarrow |{\overline {AF}}|=|{\overline {FD}}|$

Основне формулювання теореми:

Якщо вписаний у коло чотирикутник має взаємно перпендикулярні діагоналі, які перетинаються у точці $M$, то пряма, що проходить через точку $M$ і є перпендикулярною до однієї з його сторін, ділить протилежну до неї сторону навпіл.

Примітка По аналогії із серединним перпендикуляром (медіатрисою) до сторони трикутника відрізок FE на рисунку праворуч називають антимедіатрисою протилежних сторін чотирикутника. З урахуванням цієї примітки теорема Брамагупти може бути сформульована у вигляді:

Якщо вписаний у коло чотирикутник має перпендикулярні діагоналі, що перетинаються у точці $M$, то дві пари його антимедіатрис проходять через точку $M$.

Доведення теореми

На рисунку зображено вписаний чотирикутник $ABCD$, що має перпендикулярні діагоналі $AC$ і $BD$, а пряма $ME$ є перпендикулярною до сторони $BC$ й перетинає сторону $DA$ у точці $F$. Тоді

$\angle {DMF}=\angle {BME}=\angle {MCE}\equiv \angle {ACB}=\angle {ADB}\equiv \angle {FDM}.$

Отже, трикутник $FMD$ є рівнобедреним.

Аналогічно, рівнобедреним буде і трикутник $FAM$. Тому $|FA|=|FM|=|FD|$.

Див. також

• Формула Брамагупти

Джерела

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Посилання

• Brahmagupta's Theorem на освітньому сайті «cut-the-knot» (англ.)
• Weisstein, Eric W. Brahmagupta's theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.