Відкрити головне меню
Дві площини, що перетинаються

Площина́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладенні геометрії поняття площини як правило сприймається як первісне, котре лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше зустрічається в А.К.Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше зустрічається в Ламе (18161818), нормальне рівняння увів (1861).

Зміст

Деякі характерні властивості площиниРедагувати

  • Площина — поверхня, котра повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки;
  • Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

Площини в тривимірному Евклідовому просторіРедагувати

Визначення на основі точок і прямих, що належать площиніРедагувати

В Евклідовому просторі будь-якої вимірності, площина зазвичай визначається за допомогою:

  • Трьох не-колінеарних точок (точки не знаходяться на одній прямій).
  • Прямою і точкою, що не належить цій прямій.
  • Двома різними прямими, що перетинаються.
  • Двома паралельними прямими.

ВластивостіРедагувати

Наступні твердження справедливі для тривимірного Евклідового простору, але не для більших розмірностей, хоча вони мають аналогії при вищих розмірностях:

  • Дві різні площини є або паралельними або перетинаються по прямій.
  • Пряма може бути або паралельною до площини, або перетинає її в єдиній точці, або знаходиться на площині.
  • Дві різні прямі, перпендикулярні до однієї площини мають бути паралельними одна до одної.
  • Дві різні площини перпендикулярні одній прямій мають бути паралельні одна одній.

Рівняння площиниРедагувати

Площина — алгебраїчна поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня.

  • Загальне (повне) рівняння площини
 

де   та   — сталі, при чому   і   не всі рівні нулю; у векторній формі:

 

де   — радіус-вектор точки  , вектор   перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора  :

 
 
 

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називається неповним. При   площина проходить через початок координат, при   (або  ,  ) площина паралельна осі   (відповідно   чи  ). При   ( , чи  ) площина паралельна площині   (відповідно   чи  ).

  • Рівняння площини у відрізках:
 

де   — відрізки, які площина відсікає на осях   і  .

  • Рівняння площини, що проходить через точку   перпендикулярно до вектора  :
 

у векторній формі:

 
  • Рівняння площини, що проходить через три задані точки  , які не лежать на одній прямій:
 

(мішаний добуток векторів), іншими словами

 
  • Нормальне (нормоване) рівняння площини
 

у векторній формі:

 

де   — одиничний вектор,   — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

 

(знаки   і   протилежні).

Пов'язані поняттяРедагувати

  • Відхилення точки   від площини
 

 ,якщо   і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку . Відстань від точки до площини дорівнює  

  • Кут між площинами Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то
 

Якщо у векторній формі, то

 
  чи  
  чи  .
  • Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин
 

де   і   — довільні числа, що не одночасно дорівнюють нулю.

ЛітератураРедагувати

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с.