Вільна абелева група

Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості

• Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
• Для довільного кардинального числа $\kappa \,$ існує вільна абелева група рангу $\kappa \,$.
• Нехай $\ G$ — вільна абелева група і $\ A$ — абелева група. Якщо існує епіморфізм $\ h\colon A\to G$, то існує підгрупа $\ F$ групи $\ A$ ізоморфна групі $\ G$ така, що $A=F\oplus \ker h$.
• Будь-яка абелева група $\ A$ гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група $A\,$ має множину генераторів потужності $~\kappa$ то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу $\kappa \,$. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
• Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою.

Скінченнопороджені вільні абелеві групи

У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай $\ A$ — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа $\ H$ цієї групи є вільною абелевою групою рангу $s\leqslant n$ і можна вибрати такий базис $x_{1},\ldots ,x_{n}$ групи $\ A$ і натуральні числа $m_{i},~i=1,\ldots ,s,$ що

• Множина $m_{1}x_{1},\ldots ,m_{s}x_{s}$ є базисом підгрупи $\ H;$
• $m_{i}$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=2,\ldots ,s.$

Доведення

Якщо $\ A$ є групою рангу 1, тобто нескінченною циклічною групою, то твердження одержується із характеристики підгруп циклічних груп. За індукцією припустимо, що твердження доведено для всіх вільних абелевих груп рангу менше n і $\ A$ є вільною абелевою групою рангу n. Для кожного базису $x_{1},\ldots ,x_{n}$ і елемента $a\in \ A$ у єдиний спосіб можна записати $a=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots a_{n}x_{n}$ де всі $a_{i}$ є цілими числами.

Нехай тепер $\ H$ є підгрупою групи $\ A$ і $m$ є мінімальним додатним цілим числом серед тих, що є коефіцієнтами у записі будь-якого елемента $h\in \ H$ через будь-який базис $x_{1},\ldots ,x_{n}$ групи $\ A$. Якщо перепозначити елементи і індекси базису можна записати:

${\textstyle h=mx_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots a_{n}x_{n}}$

Також

$a_{i}=md_{i}+r_{i},\quad 0\leqslant r_{i}<m,$ для $i\in \{2,\ldots ,n\}.$

Якщо позначити $y_{1}=x_{1}+d_{2}x_{2}+\ldots +d_{n}x_{n}$ то $y_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ є базисом групи $\ A$ і

${\textstyle h=my_{1}+r_{2}x_{2}+\ldots r_{n}x_{n}}$

Згідно вибору числа $m$ тоді всі ${\textstyle r_{i}=0}$ і ${\textstyle h=my_{1}.}$

Нехай тепер $\ H_{1}$ позначає циклічну групу породжену елементом ${\textstyle h}$ і $\ H_{2}$ є підгрупою $\ H$ елементи якої записуються як комбінації елементів $x_{2},\ldots ,x_{n}$ базису. Тоді $H_{1}\cap H_{2}=\{0\}.$

Оскільки $y_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ є базисом групи $\ A$, то довільний елемент $k\in \ H$ є рівним

${\textstyle k=b_{1}y_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots b_{n}x_{n}}$

Елемент ${\textstyle k=b_{1}y_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots b_{n}x_{n}}$

Якщо $b_{1}=md+r$ для $d,r\in \mathbb {Z} ,\ 0\leqslant r<m,$ то елемент $k-dh=k-dmy_{1}\in H$ записується через базис $y_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ як

$k-dh=ry_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots b_{n}x_{n}$

і тому $r=0$ і відповідно $b_{1}=md,$ а тому $b_{1}y_{1}=mdy_{1}=dh\in H_{1}.$ Відповідно кожен елемент $k\in \ H$ є рівним сумі $k_{1}+k_{2}$, де $k_{1}\in \ H_{1}$ і $k_{2}\in \ H_{2}.$

Група $\ A_{2}$ — підгрупа $\ A$ породжена елементами $x_{2},\ldots ,x_{n}$ базису є вільною групою рангу n - 1 і $\ H_{2}$ є підгрупою у $\ A_{2}$. Згідно припущення індукції $\ H_{2}$ є вільною групою деякого рангу s - 1 і існує базис $y_{2},\ldots ,y_{n}$ групи $\ A_{2}$ і числа $m_{i},~i=2,\ldots ,s,$ що $m_{2}y_{2},\ldots ,m_{s}y_{s}$ є базисом групи $\ H_{2}$ і $m_{i}$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=3,\ldots ,s.$ Тоді $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}$ є базисом групи $\ A$, а $my_{1},m_{2}y_{2},\ldots ,m_{s}y_{s}$ є базисом групи $\ H.$ Також $m$ ділить $m_{2}$. Справді, якщо $m_{2}=md+r$, для $d,r\in \mathbb {Z} ,\ 0\leqslant r<m,$ то у базисі $y_{1}+dy_{2},y_{2},\ldots ,y_{n}$ елемент $my_{1}+m_{2}y_{2}\in H$ записується як $m(y_{1}+dy_{2})+ry_{2}.$ Із мінімальності $m$ випливає, що $r=0$ і $m_{2}=md.$

Відповідно базис $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}$ групи $\ A$ і числа $m=m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}$ (для яких $m_{1}y_{1},m_{2}y_{2},\ldots ,m_{s}y_{s}$ є базисом) задовільняють умови твердження.

Приклади

• Група $\mathbb {Z} ^{+}$ цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин $\{1\},\{-1\}\,$.
• Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина $\ \{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$.

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
• Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.