Рівнопотужність

відношення двох множин

Рівнопотужність — відношення двох довільних (скінченних або нескінченних) множин, що означає, нестрого кажучи, що одна з множин містить стільки ж елементів, як і інша. Скінченні множини рівнопотужні тоді й лише тоді, коли вони містять однакові кількості елементів. Наприклад, множина традиційних зодіакальних сузір'їв і множина ребер куба рівнопотужні, оскільки обидві містять по 12 елементів.

Поняття рівнопотужності, введене Георгом Кантором 1878 року, розширює це відношення на нескінченні множини, на нього спирається визначення центрального в теорії множин поняття потужності множини. Кантор також визначив порівняння потужностей — якщо дві множини не рівнопотужні, то потужність однієї з них більша, ніж іншої (у доведенні використовується аксіома вибору).

ВизначенняРедагувати

 
Взаємно-однозначна відповідність множин

Визначення 1. Функція   яка визначена на множині   і набуває значень у множині   називається взаємно-однозначною відповідністю[1], якщо:

  • різним елементам   відповідають різні елементи  
  • кожен елемент   поставлено у відповідність деякому елементу  .

Легко бачити, що взаємно-однозначна відповідність як функція має (однозначну) обернену функцію, визначену на всій множині  

Визначення 2. Дві множини називають рівнопотужними, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність[2]. Варіанти термінології: рівнопотужні множини «мають однакову потужність» або «однакове кардинальне число».

У зазначеній відповідності будь-якому елементу кожної з рівнопотужних множин відповідає рівно один елемент іншої множини.

Різні автори пропонували різні символи для позначення рівнопотужності множин  :

 
 
 
  (позначення Кантора)
  (позначення Бурбакі)
#  = # 
 

Далі в цій статті використовується перше позначення.

ПрикладиРедагувати

Множина натуральних чисел   і множина парних чисел рівнопотужні, оскільки кожному натуральному числу   взаємно-однозначно відповідає парне число   Всі множини, рівнопотужні   називаються зліченними. Будь-яка нескінченна підмножина   зліченна — наприклад, множина простих чисел.

Множина раціональних чисел зліченна, проте множина дійсних чисел   вже незліченна.

Всі кола рівнопотужні. Щоб переконатися в цьому, побудуємо для кожного кола полярну систему координат з початком у центрі кола і поставимо у відповідність точки з однаковим полярним кутом.

Викладений підхід часто використовується, щоб визначити поняття нескінченної множини «за Дедекіндом»: множина   називається нескінченною, якщо вона рівнопотужна своїй власній підмножині (тобто підмножині, що не збігається з усією  )[3].

ВластивостіРедагувати

Відношення рівнопотужності є відношенням еквівалентності:

  1. Кожна множина рівнопотужна сама собі.
  2. Якщо   то  
  3. Якщо   і   то  

Отже, відношення рівнопотужності розбиває множини на неперетинні класи рівнопотужних множин. Це розбиття дозволило Кантору визначити поняття потужності множини як одного з таких класів (в аксіоматичній теорії множин поняття потужності вводиться трохи інакше, див. подробиці в статті про потужність множини).

З теореми Кантора випливає, що ніяка множина не може бути рівнопотужною множині своїх підмножин (яка завжди має більшу потужність)[4].

Теорема Кантора — Бернштейна: якщо з двох множин А і В кожна еквівалентна частині іншої, то ці дві множини рівнопотужні.

1877 року Кантор виявив низку незвичайних наслідків своєї теорії[5].

  • Скінченний відрізок прямої рівнопотужний всій нескінченній прямій.
  • Вся площина, будь-який квадрат на ній і відрізок прямої рівнопотужні.

Відношення рівнопотужності узгоджене (з певними обмеженнями) з теоретико-множинними операціями[6].

  • (Декартів добуток):  
  • Якщо   і   то  
  • (Об'єднання) Нехай   причому   не перетинається з   не перетинається з   Тоді  

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Верещагин Н. К., Шень А. Начала теории множеств. — М. : МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-4439-0012-4.
  • Кудрявцев Л. Д. Взаимно однозначное соответствие // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 690.
  • Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М. : Мир, 1970. — 416 с.
  • Ященко И. В. Равномощность множеств / Парадоксы теории множеств. М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2002.

ПосиланняРедагувати