Теорема Кантора — Бернштейна

Теорема Кантора — Бернштейна (також теорема Кантора — Бернштейна — Шредера), стосується теорії множин та стверджує, що якщо в множині A елементів не менше, ніж в множині B (тобто, якщо в множині A існує підмножина, рівнопотужна множині B), а в множині B елементів не менше, ніж в множині A, то насправді елементів порівну, тобто існує бієкція (взаємно однозначна відповідність) між множинами A та B. Тобто: що якщо існують ін'єктивні відображення і між множинами і , то існує бієкція . Іншими словами, потужності множин і збігаються:

Неформально, теорема стверджує наступне:

Із і , випливає, що = . В даних нерівностях і є кардинальними числами.

ДоведенняРедагувати

Нехай, без обмеження загальності, множини A та B не перетинаються. Для будь-яких a в A чи b в B, ми можемо сформувати унікальну двосторонню послідовність елементів, що поперемінно належать A та B, шляхом почергового застосування   та   йдучи вправо і   та   вліво (де вони визначені).

 

Для будь-якого конкретного a, ця послідовність може припинитися в точці, де   чи   не визначені або не закінчуватися, якщо вони всюди визначені.

Назвемо таку послідовність (та усі її елементи) A-стопор, якщо вона зупиняється на елементі з A, чи B-стопор якщо вона зупиняється на елементі з B. Інакше, назвемо її подвійно безмежною, якщо всі елементи різні чи циклічною, якщо вони повторюються.

У силу того, що   та   є ін'єктивними функціями, кожен елемент a в A та b в B буде зустрічатися лише в одній такій послідовності, оскільки якщо б елемент зустрічався в двох послідовностях, всі елементи зліва і справа повинні були б бути однакові в обох з них, за визначенням.

У силу вище сказаного описані послідовності формують розбиття об'єднання множин A і B. Для A-стопора функція   є бієкцією між елементами множин A і B в цій послідовності. Для B-стопора функція   є бієкцією між елементами множин B і A в цій послідовності. Для подвійно безмежної чи циклічної послідовності можна використати будь-яку з двох функцій.

Інше доведенняРедагувати

Нехай

 

і

 

і

 

Тоді, для довільного   візьмемо

 

Якщо x не лежить в C, тоді x повинен бути в g[B] (образі множини B під дією відображення g). І тоді існує g -1(x), і h коректно визначене взаємно однозначне відображення (бієкція).

Можна перевірити, що   і є шукане взаємооднозначне відображення.

Зауважимо, що це визначення відображення h неконструктивне в тому сенсі, що не існує загального алгоритму визначення за скінченне число кроків для будь-яких заданих множин A, B і ін'єкцій f, g, чи лежить деякий елемент x множини A в множині C чи ні. Хоча для деяких окремих випадків, такий алгоритм існує.

ІсторіяРедагувати

Як це часто буває в математиці, назва цієї теореми не правильно відображає її історію. Традиційна назва "Шредера-Бернштейна" ґрунтується на двох доказах, опублікованих в 1898 році незалежно один від одного. Кантора часто додають до назви тому, що він вперше сформулював теорему в 1895 році, в той час як ім'я Шредера часто опускається, тому що його доведення виявилося помилковим, а ім'я математика, який вперше довів це не пов'язано з теоремою взагалі. Насправді, історія була більш складною:

  • 1887 — Ріхард Дедекінд доводить теорему, але не публікує її.
  • 1895 — Георг Кантор подає твердження теореми у своїй першій роботі з теорії множин.
  • 1896 — Ернст Шредер оголосив про доведення теореми.
  • 1897 — Фелікс Бернштейн, молодий студент подав своє доведення на семінарі Кантора.
  • 1897 — Після візиту Бернштейна до Дедекінда, останній самостійно доводить теорему вдруге.
  • 1898 — Доведення Бернштейна публікує Еміль Борель у своїй книзі про функції.

Обидва доведення Дедекінда обґрунтовуються в його науковій статті "Was sind und was sollen die Zahlen?".

 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004. — 336 с.