Кардинальне число
Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини позначається як або .
Кардинальне число | |
Формула | |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Є кількістю | елемент |
![]() |
Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.
Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.
Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:
Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
- Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
- Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
- Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора — Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
- Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.
Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.
Операції над кардинальними числами
ред.Додавання
Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B, де А та В — довільні множини, що не перетинаються такі, що a=|A|, b=|B|. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.
Множення
Добутком двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини , де a=|A|, b=|B|, А та В — довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.
Піднесення до степеня
Степенем кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини , де a=|A|, b=|B|.
Арифметика кардинальних чисел
ред.Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:
Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:
Мають місце рівності:
Істинні наступні твердження:
1) якщо і , то
2) якщо , то
3) якщо , то
4) якщо , то
Теорема 1.
для будь-якої множини А.
Теорема 2.(Г.Кантор)
для будь-якого кардинального числа а.
Приклади кардинальних чисел
ред.- 0 (нуль) та натуральні числа — ними записуються потужності скінченних множин. Наприклад, порожня множина ∅ має потужність 0, а множина — очевидно 3.
- (алеф-нуль) — потужність множини , тобто множини всіх натуральних чисел. Це найменше нескінченне кардинальне число. Множину з потужністю (тобто множину, рівнопотужну множині натуральних чисел) називають зліченною, прикладами зліченних множин є:
- — множина всіх натуральних чисел (очевидно);
- будь-яка нескінченна підмножина з (вона нескінченна, тому її кардинальне число нескінченне, але водночас вона вкладена в , тому її потужність не перевищує );
- — множина всіх цілих чисел (їх можна перелічити, наприклад, отак: 0, −1, 1, −2, 2, …);
- (множина пар натуральних чисел), а також і будь-яка множина при (елементи таких множин можна пронумерувати натуральними числами);
- — множина всіх раціональних чисел ( ).
- — кардинальне число множини , тобто множини всіх дійсних чисел. Можна довести, що (при цьому за теоремою Кантора з цього випливає ). Множину з потужністю (тобто множину, рівнопотужну множині дійсних чисел) називають континуумом або континуальною множиною (водночас саме число теж називають словом континуум), прикладами континуальних множин є:
- — множина всіх дійсних чисел (очевидно);
- будь-який проміжок ненульової довжини з , наприклад: , чи (довільно малий інтервал можна співставити всій множині дійсних чисел певною функцією, наприклад тангенсом);
- (множина пар дійсних чисел), й інші (при .
- (алеф-один, алеф-два тощо) — наступні після у порядку зростання кардинальні числа. Якщо приймати континуум-гіпотезу, то ; інакше можна лише сказати, що . Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
- , де — довільний ординал. Приклади для нескінченних ординалів: , , , тощо.
Гіпотеза континуума
ред.Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між (кардиналом множини натуральних чисел) та (кардиналом множини дійсних чисел), тобто .
Якщо приймати континуум-гіпотезу, то ; інакше можна лише сказати, що .
Див. також
ред.Джерела
ред.- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)