Відкрити головне меню

Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини A позначається як |A| або Card A.

Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.

Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

  1. Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
  2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
  3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' B і B~A' A. За теоремою Кантора-Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
  4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.

Операції над кардинальними числамиРедагувати

Додавання

Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B , де А та В - довільні множини, що не перетинаються такі, що: a=[A], b=[B]. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.

Множення

Добутком   двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини  , де a=[A], b=[B], А та В-довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.

Піднесення до степеня

Степенем   кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини  , де a=[A], b=[B].

Арифметика кардинальних чиселРедагувати

Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними тобто:

 

 

 

 

Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:

 

Мають місце рівності:

 

 

 

 


 

 

 

Істинні наступні твердження:

1) якщо   і  , то  

2) якщо  , то  

3) якщо  , то  

4) якщо  , то  


Теорема 1.

  для будь-якої множини А.


Теорема 2.(Г.Кантор)

  для будь-якого кардинального числа а.

Числа алефРедагувати

Докладніше: Числа алеф

Кардинальне число множини N всіх натуральних чисел (зокрема, і будь-якої зліченної множини) позначають через   (читається «алеф-нуль»). Кардинальне число континуальних множин позначають c або   («алеф-один»). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають  . Г. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.

Гіпотеза континуумаРедагувати

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число   якої розташоване між   (кардиналом множини натуральних чисел) і   (кардиналом множини дійсних чисел), тобто   <   <  .

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати