Кардинальне число

Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини $A$ позначається як $|A|$ або $card(A)$.

Кардинальне число
Формула	$0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Є кількістю	елемент
Кардинальне число у Вікісховищі

Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.

Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

1. Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора — Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.

Операції над кардинальними числами

Додавання

Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B, де А та В — довільні множини, що не перетинаються такі, що a=|A|, b=|B|. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.

Множення

Добутком $a\cdot b$ двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини $A\times B$, де a=|A|, b=|B|, А та В — довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.

Піднесення до степеня

Степенем $a^{b}$ кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини $A^{B}$, де a=|A|, b=|B|.

Арифметика кардинальних чисел

Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:

$a+(b+c)=(a+b)+c$

$a+b=b+a$

$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

$a\cdot b=b\cdot a$

Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Мають місце рівності:

$1^{a}=1$

$a^{1}=a$

$0\cdot a=0$

$a+0=a$

$a^{b+k}=a^{b}\cdot a^{k}$

$(a^{b})^{k}=a^{b\cdot k}$

$(a\cdot b)^{k}=a^{k}\cdot b^{k}$

Істинні наступні твердження:

1) якщо $a\leq b$ і $b\leq c$, то $a\leq c$

2) якщо $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$

3) якщо $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

4) якщо $a\leq b$, то $a^{k}\leq b^{k}$

Теорема 1.

$[P(A)]=2^{[A]}$ для будь-якої множини А.

Теорема 2.(Г.Кантор)

$2^{a}>a$ для будь-якого кардинального числа а.

Приклади кардинальних чисел

• 0 (нуль) та натуральні числа — ними записуються потужності скінченних множин. Наприклад, порожня множина ∅ має потужність 0, а множина $\{{\text{коза}},{\text{порося}},{\text{собака}}\}$ — очевидно 3.
• $\aleph _{0}$ (алеф-нуль) — потужність множини $\mathbb {N}$, тобто множини всіх натуральних чисел. Це найменше нескінченне кардинальне число. Множину з потужністю $\aleph _{0}$ (тобто множину, рівнопотужну множині натуральних чисел) називають зліченною, прикладами зліченних множин є:
  • $\mathbb {N}$ — множина всіх натуральних чисел (очевидно);
  • будь-яка нескінченна підмножина з $\mathbb {N}$ (вона нескінченна, тому її кардинальне число нескінченне, але водночас вона вкладена в $\mathbb {N}$, тому її потужність не перевищує $\aleph _{0}$);
  • $\mathbb {Z}$ — множина всіх цілих чисел (їх можна перелічити, наприклад, отак: 0, −1, 1, −2, 2, …);
  • $\mathbb {N} ^{2}$ (множина пар натуральних чисел), а також $\mathbb {N} ^{3}$ і будь-яка множина $\mathbb {N} ^{k}$ при $k\in \mathbb {N}$ (елементи таких множин можна пронумерувати натуральними числами);
  • $\mathbb {Q}$ — множина всіх раціональних чисел ($|\mathbb {N} |\leq |\mathbb {Q} |\leq |\mathbb {N} ^{2}|$).
• ${\mathfrak {c}}$ — кардинальне число множини $\mathbb {R}$, тобто множини всіх дійсних чисел. Можна довести, що ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ (при цьому за теоремою Кантора з цього випливає ${\mathfrak {c}}>\aleph _{0}$). Множину з потужністю ${\mathfrak {c}}$ (тобто множину, рівнопотужну множині дійсних чисел) називають континуумом або континуальною множиною (водночас саме число ${\mathfrak {c}}$ теж називають словом континуум), прикладами континуальних множин є:
  • $\mathbb {R}$ — множина всіх дійсних чисел (очевидно);
  • будь-який проміжок ненульової довжини з $\mathbb {R}$, наприклад: $[0,1)$, $(0,\infty )$ чи $[8,{\frac {100}{3}}]$ (довільно малий інтервал можна співставити всій множині дійсних чисел певною функцією, наприклад тангенсом);
  • $\mathbb {R} ^{2}$ (множина пар дійсних чисел), $\mathbb {R} ^{3}$ й інші $\mathbb {R} ^{n}$ (при $n\in \mathbb {N} )$.
• $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots$ (алеф-один, алеф-два тощо) — наступні після $\aleph _{0}$ у порядку зростання кардинальні числа. Якщо приймати континуум-гіпотезу, то ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$; інакше можна лише сказати, що ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{1}$. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
• $\aleph _{\alpha }$, де $\alpha$ — довільний ординал. Приклади для нескінченних ординалів: $\aleph _{\omega }$, $\aleph _{\omega +1}$, $\aleph _{\omega \cdot 2}$, $\aleph _{\omega ^{2}}$ тощо.

Гіпотеза континуума

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число $\kappa$ якої розташоване між $\aleph _{0}$ (кардиналом множини натуральних чисел) та ${\mathfrak {c}}$ (кардиналом множини дійсних чисел), тобто $\aleph _{0}<\kappa <{\mathfrak {c}}$.

Якщо приймати континуум-гіпотезу, то ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$; інакше можна лише сказати, що ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{1}$.

Див. також

• Потужність множини
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум-гіпотеза
• Великі кардинальні числа

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)