Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Представлення порядкових чисел до ωω. Кожен оберт спіралі представляє степінь ω

ОзначенняРедагувати

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина   називається ординалом, якщо вона транзитивна (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності  .

ВластивостіРедагувати

  •   — ординал.
  • Якщо   — ординал, то кожен елемент   — ординал.
  • Якщо   — ординал, то   — ординал (множину   позначають через  ). Ординали, що збігаються з   для деякого  , називаються неграничними ординалами, на відміну від граничних.
  • Всі скінченні ординали та скінченні кардинали збігаються з натуральними числами.
  • Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал   та найменший нескінченний кардинал  .
  • Існує тільки один зліченний кардинал  , на відміну від незліченної множини зліченних ординалів   {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …}
  • Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом  , якому відповідає кардинал  .
  • Довільна множина   ординалів цілком упорядкована відношенням  , при цьому   — найменший елемент довільної множини ординалів,   — ординал, не менший за довільний ординал  .
  • Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

Арифметика ординалівРедагувати

  1. Додавання не комутативне, зокрема:   не дорівнює  , тому, що  .
  2. Додавання асоціативне:  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати