Потужність множини
Потужність множини, або кардинальне число множини, — характеристика множин (у тому числі нескінченних), що узагальнює поняття кількості (числа) елементів скінченної множини.
В основі цього поняття лежать природні уявлення про порівняння множин:
- Будь-які дві множини, між елементами яких може бути встановлено взаємно однозначну відповідність (бієкція), містять однакову кількість елементів (мають однакову потужність).
- Зворотно: множини, рівні за потужністю, мусять допускати таку взаємно однозначну відповідність.
- Частина множини не перевершує повної множини за потужністю (тобто за кількістю елементів).
До побудови теорії потужності множин, множини розрізнялися за ознаками: порожня/непорожня і скінченна/нескінченна, також скінченні множини розрізнялися за кількістю елементів. Нескінченні ж множини не можна було порівняти.
Потужність множин дозволяє порівнювати нескінченні множини. Наприклад зліченні множини є «найменшими» нескінченними множинами.
Потужність множини позначається через . Сам Кантор використовував позначення . Іноді використовують позначення або .
Потужність скінченних множинРедагувати
Для множин зі скінченною кількістю елементів, потужність множини є фактично кількістю елементів цієї множини. Інакше можна сказати, що множина A є скінченною, якщо існує таке натуральне число n, що A ~ {k, k ∈ N∧ k ≤ n}. В іншому випадку, множина називається нескінченною.
Між двома скінченними множинами A і B існує взаємно однозначна відповідність тоді і тільки тоді, коли їхні потужності збігаються, тобто |A|=|B|.
Нехай A = {a1,a2,…,an} — скінченна множина з n елементів (|A|=n), тоді кількість усіх підмножин множини A дорівнює 2n, тобто 2|A|.
Множину всіх підмножин деякої множини A (скінченної або нескінченної) часто позначають через β(A) (або B(A) чи 2A) і називають булеаном множини A. Очевидно, що для скінченної множини A виконується |B(A)|= 2|A|.
Потужність нескінченних множинРедагувати
В загальному випадку, справедливому і для нескінченних множин, множини A та B є рівнопотужні, або мають однакову потужність, якщо можна встановити взаємно однозначну відповідність між елементами цих множин, тобто якщо існує бієкція f:A→B. Рівнопотужні множини позначаються як A ~ B.
Відношення рівнопотужності є рефлексивним, симетричним та транзитивним, тобто є відношенням еквівалентності.
Для нескінченних множин потужність множини може збігатися з потужністю її власної підмножини.
Приклади: Множина натуральних чисел N рівнопотужна множині S={1,4,9,16,…}, яка складається з квадратів натуральних чисел. Необхідна бієкція встановлюється за законом (n, n2), n∈N, n2∈S.
Множина Z всіх цілих чисел рівнопотужна множині P всіх парних чисел. Тут взаємно однозначна відповідність встановлюється таким чином: (n,2n), n∈Z, 2n∈P.
Числа алефРедагувати
Потужність множини натуральних чисел N позначається символом (алеф-нуль). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають .
Зліченність та скінченність множинРедагувати
Множина A називається зліченною, або зліченно-нескінченною, якщо |A| = |N|. В цьому випадку кажуть, що елементи такої множини можна занумерувати. Зліченними є множини цілих Z, натуральних N та раціональних Q чисел.
Множина, яка є скінченна, або зліченна, називається не більш ніж зліченною.
Нескінченна підмножина зліченної множини є зліченна. Також нескінченна множина містить зліченну підмножину.
Для незліченних множин, їхня потужність . Тобто, зліченна множина в певному розумінні є «найменшою» з нескінченних множин. Незліченними є множини дійсних R та комплексних C чисел.
Потужність континуумуРедагувати
Про множини, рівнопотужні множині дійсних чисел [або дійсних чисел з інтервалу (0, 1)] кажуть, що вони мають потужність континууму, і потужність таких множин позначається символом c. Континуум-гіпотеза стверджує, що с= .
ВластивостіРедагувати
- Дві скінченні множини рівнопотужні тоді й тільки тоді, коли вони складаються з однакового числа елементів. Тобто для скінченної множини поняття потужності збігається із звичним поняттям кількості.
- Для нескінченних множин потужність може збігатись з потужністю своєї власної підмножини, наприклад .
- Більш того, множина нескінченна тоді і тільки тоді, коли вона містить рівнопотужну власну (тобто таку, що не збігається з основною множиною) підмножину.
- Теорема Кантора гарантує існування потужнішої множини для будь-якої даної: Множина всіх підмножин множини A має більшу потужність, ніж A, або .
- За допомогою канторового квадрата можна також довести наступне корисне твердження: Декартів добуток нескінченної множини A з самою собою рівнопотужний A.
- Потужність декартового добутку:
- Формула включення-виключення в найпростішому виді:
Див. такожРедагувати
ЛітератураРедагувати
- А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
- Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М : Просвещение, 1991. — С. 109-110. — ISBN 5-09-001287-3.