Відкрити головне меню

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Функція і обернена їй функція . Якщо , то

Нехай f: XY та g: YX деякі функції (відображення).

Зміст

ВизначенняРедагувати

Функція   називається оберненою до функції  , якщо виконані наступні рівності:

  •   для всіх  
  •   для всіх  

ІснуванняРедагувати

Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння   щодо  . Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до   не існує. Таким чином, функція   обернена на проміжку  тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.

Для неперервної функції   виразити   із рівняння   можливо тільки в тому випадку, коли функція   строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад,  є оберненою функцією до   на  , хоча на проміжку  обернена функція інша:  .

Якщо композиція функцій f o g = EY, де E: YY - тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = EYі g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f-1. Тобто f-1(f(x))=f(f-1(x))=x.

ПрикладиРедагувати

  • Якщо  , де   то  
  • Якщо  , де   фіксовані постійні і  , то  
  • Якщо  , то  

Не слід плутати позначку f-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

 
 

ВластивостіРедагувати

  • Областю визначення   є множина  , а областю значень множина  .
  • При побудові маємо:
 

або

 ,
 ,

або коротше

 ,
 ,

де   означає композицію функцій, а   — Тотожні відображення на   і  .

  • Функція   є оберненою до  :
 .
  • Нехай   — бієкція. Нехай   її обернена функція. Тоді графіки функцій   і   симетричні відносно прямої  .

Розкладання в степеневий рядРедагувати

Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:

 

де коефіцієнти   задаються рекурсивною формулою:

 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати