Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Функція і обернена їй функція . Якщо , то

Нехай f: XY та g: YX деякі функції (відображення).

Визначення

ред.

Функція   називається оберненою до функції  , якщо виконані наступні рівності:

  •   для всіх  
  •   для всіх  

Існування

ред.

Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння   щодо  . Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до   не існує. Таким чином, функція   обернена на проміжку  тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.

Для неперервної функції   виразити   із рівняння   можливо тільки в тому випадку, коли функція   строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад,  є оберненою функцією до   на  , хоча на проміжку  обернена функція інша:  .

Якщо композиція функцій f o g = EY, де E: YY — тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = EYі g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f-1. Тобто f-1(f(x))=f(f-1(x))=x.

Приклади

ред.
  • Якщо  , де   то  
  • Якщо  , де   фіксовані постійні і  , то  
  • Якщо  , то  

Не слід плутати позначку f-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

 
 

Властивості

ред.
  • Областю визначення   є множина  , а областю значень множина  .
  • При побудові маємо:
 

або

 ,
 ,

або коротше

 ,
 ,

де   означає композицію функцій, а   — Тотожні відображення на   і  .

  • Функція   є оберненою до  :
 .
  • Нехай   — бієкція. Нехай   її обернена функція. Тоді графіки функцій   і   симетричні відносно прямої  .

Розкладання в степеневий ряд

ред.

Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:

 

де коефіцієнти   задаються рекурсивною формулою:

 

Див. також

ред.

Джерела

ред.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
  • Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
  • Функція, обернена до даної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 176. — 594 с.