Обернена функція
Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.
Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення).
Визначення
ред.Функція називається оберненою до функції , якщо виконані наступні рівності:
- для всіх
- для всіх
Існування
ред.Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння щодо . Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до не існує. Таким чином, функція обернена на проміжку тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.
Для неперервної функції виразити із рівняння можливо тільки в тому випадку, коли функція строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, є оберненою функцією до на , хоча на проміжку обернена функція інша: .
Якщо композиція функцій f o g = EY, де E: Y→Y — тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.
Якщо справедливо і f o g = EYі g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f-1. Тобто f-1(f(x))=f(f-1(x))=x.
Приклади
ред.- Якщо , де то
- Якщо , де фіксовані постійні і , то
- Якщо , то
Не слід плутати позначку f-1 з позначенням степеня.
Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:
Властивості
ред.- Областю визначення є множина , а областю значень множина .
- При побудові маємо:
або
- ,
- ,
або коротше
- ,
- ,
де означає композицію функцій, а — Тотожні відображення на і .
- Функція є оберненою до :
- .
- Нехай — бієкція. Нехай її обернена функція. Тоді графіки функцій і симетричні відносно прямої .
Розкладання в степеневий ряд
ред.Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:
де коефіцієнти задаються рекурсивною формулою:
Див. також
ред.Джерела
ред.- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
- Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
- Функція, обернена до даної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 176. — 594 с.