Теорема про обернену функцію

У математиці, а саме у диференціальному численні, теорема про обернену функцію позначає достатні умови для того, щоб функція була оберненою в околі точки в її області визначення. Теорема також дає формулу для похідної оберненої функції. В численні багатьох змінних, цю теорему можна узагальнити для неперервно диференційовної, векторзначної функції визначник чийого Якобіана не нуль у точці з її області визначення. У цьому випадку, теорема дає формулу для матриці Якобі оберненої функції. Також існують версії теореми для комплексних голоморфних функцій, для диференційовних відображень між многовидами, для диференційовних функцій між Банаховими просторами і т.д.

Твердження теоремиРедагувати

Для функцій від однієї змінної, теорема стверджує, що якщо   є неперервно диференційовною функцією з ненульовою похідною у точці  , тоді   є оборотною в околі  , обернена функція є неперервно диференційовною і

 

де лівий бік рівняння покликається до похідної оберненої функції обчисленій у f(a).

Для функцій більш ніж однієї змінної, теорема стверджує, що якщо повна похідна неперервно диференційовної функції   визначеної з відкритої множині   у   є оборотною у точці   (тобто, визначник матриці Якобі для   у точці   не нуль), тоді   є оборотною функцією поблизу  . Це означає, що обернена для   функція існує у деякому околі  . Більше того, обернена функція   також неперервно диференційовна. У випадку нескінченної вимірності потрібно, щоб похідна Фреше мала обмежену обернену у  . Насамкінець, теорема каже, що

 

де   позначає обернену матрицю і   є Якобіаном функції   у точці  . Цю формулу також можна отримати з ланцюгового правила. Ланцюгове правило стверджує, що для функцій   і   які мають повні похідні у   і   відповідно,

 

Покладаючи   бути   і   бути  ,   є тотожною функцією, чия матриця Якобі є одиничною. У цьому особливому випадку, формулу вище можна розв'язати для  . Зауважимо, що ланцюгове правило припускає існування повної похідної внутрішньої функції  , тоді як теорема про обернену функцію доводить, що   має повну похідну у  . Існування оберненої до   функції тотожне твердженню, що систему з   рівнянь   можна розв'язати для   у термінах   якщо ми обмежимо   і   маленьким околом   і  , відповідно.

ПрикладРедагувати

Розглянемо векторзначну функцію   з   у   визначену як

 

Матриця Якобі така

 

і визначник

 

Визначник   є ненульовим усюди. Але, згідно з теоремою, для кожної точки   у  , існує окіл   на якому   є оборотною. Зауважимо, що це не те саме, що сказати, що   оборотна на всій області значень. У цьому прикладі,   не є оборотною, тому що вона не ін'єктивна (оскільки  ).

УзагальненняРедагувати

МноговидиРедагувати

Теорему про обернену функцію можна узагальнити до диференційовних відображень між диференційовними многовидами. Тут теорема стверджує, що для диференційовного відображення  , якщо диференціал  ,

 

є лінійним ізоморфізмом у точці   у  , тоді існує відкритий окіл   точки   такий, що

 

є дифеоморфізмом. Зауважте, що це має на увазі, що   і   повинні мати однакову вимірність в  . Якщо похідна   — це ізоморфізм в усіх точках   у  , тоді відображення   є локальним дифеоморфізмом.

Банахови просториРедагувати

Теорему про обернену функцію можна узагальнити для диференційовних відображень між Банаховими просторами. Нехай   і   будуть Банаховими просторами, а   буде відкритим околом початку координат в  . Нехай   неперервно диференційовна і припустимо, що похідна   від   в 0 це обмежений лінійний ізоморфізм   на  . Тоді існує відкритий окіл   для   в   і неперервно диференційовне відображення   таке, що   для всіх   з  .

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  • Lang, Serge (1995). Differential and Riemannian Manifolds. Springer. ISBN 0-387-94338-2. 
  • Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0. 
  • Nijenhuis, Albert (1974). Strong derivatives and inverse mappings. Amer. Math. Monthly 81 (9): 969–980. doi:10.2307/2319298. 
  • Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (вид. Second). New York: Springer-Verlag. с. 337–338. ISBN 0-387-00444-0. 
  • Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (вид. Third). New York: McGraw-Hill Book Co. с. 221–223.