Функція вибору (чи селектор) для множини це функція ( - булеан ), яка кожній множині ставить у відповідність деяку її підмножину .

ПрикладРедагувати

Нехай X = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Тоді функція, що призначає 7 множині {1,4,7}, 9 множині {9} і 2 множині {2,7} — це функція вибору.

Функція вибору та аксіома виборуРедагувати

Ернст Цермело ввів поняття функції вибору разом з аксіомою вибору в 1904 році в доведенні теореми про цілком впорядковану множину. Як було вказано ним, деякі множини можуть мати функцію вибору і без застосування аксіоми вибору:

  • Для скінченного сімейства множин.
  • Якщо кожна множина сімейства є цілком упорядкованою.
  • Коли об'єднання всіх множин сімейства є цілком упорядковуваним.

Способи заданняРедагувати

Вибір зручно здійснювати порівнюючи дві альтернативи, тобто задавати на   деяке бінарне відношення  . Тоді, функцію вибору за цим бінарним відношенням можна задати двома способами:

  • Блокування   - множина мажорант на множині X. (  - доповнення до відношення).
  • Перевага   - множина максимумів на множині X.

Теорема: функції вибору   і   зв'язані співвідношеннями  , де   - двоїсте відношення до R.

Покриваюче сімейство для множини X - це  .

Функція вибору є нормальною, тоді і лише тоді, коли для будь-якої множини  , і для будь-якого покриваючого її сімейства   виконується:

 

Тобто, якщо функція нормальна, то кожен об'єкт з X, що не є обраним у X, не є обраним хоча б у одній множині з покриваючого сімейства.

ПосиланняРедагувати

  1. Волошин О.Ф.; Мащенко С.О. (2006). Теорія прийняття рішень (укр). К: ВПЦ "Київський університет". ISBN 966-594-742-7.