Диференціал (диференціальна геометрія)

Диференціа́л (від лат. differentia — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.

Якщо відображення, φ, переводить кожну точку многовида M у многовид N, тоді диференціал φ переводить вектори дотичного простору у кожній точці в M у дотичний простір для відповідної точки в N.

Необхідні знання

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори.

Позначення

Зазвичай диференціал $f$ позначається $df$. Деякі автори позначають $\operatorname {d} f$ шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал у точці $x$ позначається $d_{x}f$, а інколи $df_{x}$ або $df[x]$. ($d_{x}f$ є лінійна функція на дотичному просторі у точці $x$.)

Якщо $v$ є дотичним вектором у точці $x$, то значення диференціала на $v$ зазвичай позначають $df(v)$, у цьому позначення $x$ зайве, але позначення $d_{x}f(v)$, $df_{x}(v)$ і $df[x](v)$ також правомірні.

Використовується так само позначення $f_{*}$; останнє зв'язане з тим, що диференціал $f\colon M\to N$ є єдиним підняттям $f$ на кодотичні розшарування до многовидів $M$ і $N$.

Означення

Для дійснозначних функцій

Нехай $M$ — гладкий многовид і $f\colon M\to \mathbb {R}$ гладка функція. Диференціал $f$ являє собою 1-форму на $M$, що зазвичай позначається $df$ і визначається наступним співвідношенням

$df(X)=d_{p}f(X)=Xf,$

де $Xf$ позначає похідну $f$ за напрямком дотичного вектора $X$ у точці $p\in M$.

Для відображень гладких многовидів

Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид $F\colon M\to N$ є відображенням між їх дотичними розшаруваннями, $dF\colon TM\to TN$, таким що для будь-якої гладкої функції $g\colon N\to \mathbb {R}$ маємо

$[dF(X)]g=X(g\circ F),$

де $Xf$ позначає похідну $f$ за напрямком $X$. (У лівій частині рівності береться похідна у $N$ функції $g$ за $dF(X)$; у правій — в $M$ функції $g\circ F$ за $X$).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.

Пов'язані означення

• Точка $x$ многовиду $M$ називається критичною точкою відображення $f:M\to N$, якщо диференціал $d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N$ не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда)
  • У цьому випадку $f(x)$ називається критичним значенням $f$.
  • Точка $y\in N$ називається регулярною, якщо вона не є критичною.
• Гладке відображення $F\colon M\to N$ називається субмерсією, якщо для будь-якої точки $x\in M$, диференціал $d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N$ є сюр'єктивним.
• Гладке відображення $F\colon M\to N$ називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки $x\in M$, диференціал $d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N$ є ін'єктивним.

Властивості

• Диференціал композиції рівний композиції диференціалів:

  $d(F\circ G)=dF\circ dG$ или $d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$

Приклади

• Нехай у відкритій множині $\Omega \subset \mathbb {R}$ задана гладка функція $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$. Тоді $df=f'\,dx$, де $f'$ позначає похідну $f$, а $dx$ є сталою формою, що визначається $dx(V)=V$.
• Нехай у відкритій множині $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ задана гладка функція $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$. Тоді $df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}$. Форма $dx_{i}$ може бути визначена співвідношенням $dx_{i}(V)=v_{i}$, для вектора $V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})$.
• Нехай у відкритій множині $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ задано гладке відображення $F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}$. Тоді

  $d_{x}F(v)=J(x)v,$

де $J(x)$ є матрицею Якобі відображення $F$ у точці $x$.

Див. також

• Кодиференціал (диференціальна геометрія)