Відкрити головне меню
Якщо відображення, φ, переводить кожну точку многовида M у многовид N, тоді диференціал φ переводить вектори дотичного простору у кожній точці в M у дотичний простір для відповідної точки в N.

Диференціа́л (від лат. differentia — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.

Зміст

Необхідні знанняРедагувати

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори.

ПозначенняРедагувати

Зазвичай диференціал   позначається  . Деякі автори позначають   шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал у точці   позначається  , а інколи   або  . (  є лінійна функція на дотичному просторі у точці  .)

Якщо   є дотичним вектором у точці  , то значення диференціала на   зазвичай позначають  , у цьому позначення   зайве, але позначення  ,   і   також правомірні.

Використовується так само позначення  ; останнє зв'язане з тим, що диференціал   є єдиним підняттям   на кодотичні розшарування до многовидів   і  .

ОзначенняРедагувати

Для дійснозначних функційРедагувати

Нехай   — гладкий многовид і   гладка функція. Диференціал   являє собою 1-форму на  , що зазвичай позначається   і визначається наступним співвідношенням

 

де   позначає похідну   за напрямком дотичного вектора   у точці  .

Для відображень гладких многовидівРедагувати

Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид   є відображенням між їх дотичними розшаруваннями,  , таким що для будь-якої гладкої функції   маємо

 

де   позначає похідну   за напрямком  . (У лівій частині рівності береться похідна у   функції   за  ; у правій — в   функції   за  ).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.

Пов'язані означенняРедагувати

  • Точка   многовиду   називається критичною точкою відображення  , якщо диференціал   не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда)
    • У цьому випадку   називається критичним значенням  .
    • Точка   називається регулярною, якщо вона не є критичною.
  • Гладке відображення   називається субмерсією, якщо для будь-якої точки  , диференціал   є сюр'єктивним.
  • Гладке відображення   називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки  , диференціал   є ін'єктивним.

ВластивостіРедагувати

  • Диференціал композиції рівний композиції диференціалів:
      или  

ПрикладиРедагувати

  • Нехай у відкритій множині   задана гладка функція  . Тоді  , де   позначає похідну  , а   є сталою формою, що визначається  .
  • Нехай у відкритій множині   задана гладка функція  . Тоді  . Форма   може бути визначена співвідношенням  , для вектора  .
  • Нехай у відкритій множині   задано гладке відображення  . Тоді
     
де   є матрицею Якобі відображення   у точці  .

Див. такожРедагувати