Дотичний простір

Дотичний простір до гладкого многовиду в точці  — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природну структуру векторного простору.

Дотичний простір і дотичний вектор , подовж кривої , що проходить через точку

Дотичний простір до у точці зазвичай позначають або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто .

Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.

Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці підмноговиду.

У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.

ОзначенняРедагувати

Через диференціювання в точціРедагувати

Нехай   — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці  . Тобто простір операторів   які дають число   для кожної гладкої функції  , і володіють такими властивостями:

Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці   можна ввести структуру лінійного простору:

 
 

Через локальні координатиРедагувати

Нехай   — гладкий многовид розмірності n,   і   — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо   множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці   називається відображення:

 

таке що існують дійсні числа   з наступною властивістю. Для довільної функції  

 

де   — координати простору  

Визначення через кривіРедагувати

Нехай   — гладкий многовид розмірності n,   і   — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві   такі що   Тоді   називаються еквівалентними, якщо   Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом   у   цю множину можна перетворити у векторний простір.

ВластивостіРедагувати

  • Дотичний простір  -вимірного гладкого многовиду є  -вимірним векторним простором.
  • Для обраної локальної карти  , оператори   являють собою базис  , який називають голономним базисом.

Пов'язані означенняРедагувати

  • Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  • У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.