Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення .

ВизначенняРедагувати

Нехай задано відображення  , що має в деякій точці x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J, складена з часткових похідних цих функцій в точці x, називається матрицею Якобі цієї системи функцій.

 

Зв'язані визначенняРедагувати

  • Якщо m = n, то визначник   матриці Якобі називається визначником Якобі (якобіаном) системи функцій  .
  • Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг:
     

ВластивостіРедагувати

  • Якщо всі   неперервно діференцюються в околі  , то
     
  • Хай   — відображення, що диференціюються,  ,   — їхні матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності):
     
  • За теоремою Сарда, для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега).

ПрикладиРедагувати

Приклад 1Редагувати

Розглянемо функцію f : ℝ2 → ℝ2, з (x, y) ↦ (f1(x, y), f2(x, y)), задану так

 

Тоді маємо, що

 

і

 

і якобіан f це

 

а визначник якобіана це

 

Приклад 2Редагувати

Якобіан функції F : ℝ3 → ℝ4 з компонентами

 

це

 

Цей приклад показує, що матриця Якобі не обов'язково квадратна.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати