Відкрити головне меню

Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.

Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої множини, то вона називається диференційовною на цій множині.

У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування похідної.

Функції однієї змінноїРедагувати

Нехай функція   визначена в деякому околі точки   і нехай  . Функція   називається диференційовною в точці   (англ. differentiable), якщо приріст   можна представити у вигляді:

 .

де:

  — стала. При фіксованій   A не залежить від  ; але коли відбувається зміна  , A змінюється також,
  при  .

Лінійна функція   (від  ) називається диференціалом функції в точці   і позначається  , або, коротше  .

Таким чином:

  при  ,
 .

ВластивостіРедагувати

Для того, аби функція   була диференційовна в деякій точці  , необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

 .

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Функції багатьох зміннихРедагувати

Відображення   називається диференційовним в точці   якщо існує лінійне відображення  , що залежить від точки  , таке що

 

або

 .

Лінійне відображення   називається диференціалом відображення   в точці  .

Якщо відображення   задано за допомогою функцій

 

то матриця диференціала   — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним  

Зв'язок між диференційовністю і частковими похіднимиРедагувати

На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження.

  • Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально похідні за напрямком існують в цій точці.
  • Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція
 
для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною.
  • Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній неперервними то функція є диференційовною.
  • Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обі часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці
 

ДжерелаРедагувати

Див. такожРедагувати