Диференціал (математика)

Диференціал в математиці — головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина приросту функції або відображення.

Приріст та лінійна частина приросту функції однієї змінної

В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x — змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов'язаний з dx формулою:

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δyx де Δx прямує до нуля.

  1. Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.[1]
  2. Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.[2]

Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.

Історія і використанняРедагувати

Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. Архімед використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескінченно малими величинами можуть бути точні.[3] Бхаскара II розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін.[4] Шараф аль-Дін аль-Тусі використовував їх для обчислення похідної кубічного рівняння.[5][6] Ісаак Ньютон називав їх похідними. Проте Лейбніц був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер.

В позначенні Лейбніца, якщо x — змінне число тоді dx позначає нескінченно малий приріст змінної x. Таким чином, якщо y функція від x, тоді похідна y по змінній x часто позначається  , що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа)   чи  . Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції y(x) дорівнює нахилу функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити границю відношення   приросту y в залежності від приросту x, якщо приріст x прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад dx маю таку саму розмірність як і змінна x.

Сума Рімана є певного виду наближенням інтегралу за допомогою скінченної суми. Вона названа на честь німецького математика із дев'ятнадцятого століття Бернгарда Рімана. Його одним із самих загальних застосувань є апроксимація площі, що обмежують графіки функцій або криві, а також довжини кривих і інші наближення.

Диференціал використовують в позначенні інтеграла, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під графіком функції обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі

 

знак інтеграла (витягнуте s) означає нескінченну суму, f(x) позначає 'висоту' тонкої стрічки, а диференціал dx позначає нескінченно тонку ширину.

Формальні означенняРедагувати

Об'єм кубу - функція від довжини його сторони,   За рахунок лінійного термічного розширення сторони кубу збільшуються, а тому збільшується й його об'єм. Якщо довжина сторони куба мала значення   й збільшилася на   то вона прийме значення   і об'єм куба стане рівним   Величина, на яку збільшиться його об'єм, буде складати   Цю різницю називають прирощенням об'му куба, а число  , яке показує, на скільки збільшилася довжина строни куба, називається прирощенням його довжини. У математиці прирощення якої-небудь величини позначається   де   - велика грецька літера "дельта", яка нагадує про латинське слово differentia - "різниця".

 
Якщо функція   зростає на відрізку   то на цьому відрізку знаки   та   співпадають - при збільшенні   збільшується й   а при зменшенні   зменшується й   (графік ліворуч на малюнку). Якщо ж функція   спадає на цьому відрізку, то у будь-якій його точці знаки   та   протилежні.

Якщо   - декотра функція й   прирощується,   то змінюється й значення функції, в результаті чого вона отримує деяке прирощення   Щоб обчислити це прирощення, необхідно:

  • знайти значення функції при початковому значенні аргумента, тобто  ;
  • знайти нове значення аргумента, тобто  ;
  • знайти нове значення функції, тобто  ;
  • з нового значення функції відняти початкове її значення,тобто  


Наприклад, прирощення функції   має вигляд   це прирощення можна записати наступним чином:   Воно складається з двох доданків   та   Перший доданок пропорційний прирощенню аргументу   Другий доданок складніший, залежить від   Але за малих   він набагато менший, ніж   тому що є добутком   на вираз   який прагне до нуля за  

 
       
0,1 0,331 0,3 0,031
0,01 0,030301 0,03 0,000301
0,001 0,003003001 0,003 0,000003001

Таким чином, доданок  , який є пропорційним  , за малих значеннях   є головною частиною прирощення функції. Такий доданок називається диференціалом й позначається   Він залежить не лише від  , але й від   Наприклад, для функції   при   та   він дорівнює   У випадку   та   диференціал  

 
Диференціал функції  

Прирощення функції   має вигляд   Доданком, пропорційним   є   Цей доданок і є диференціалом заданої функції:   Формула для диференціалу   має простий геометричний сенс. Оскільки   - площина квадрату, сторона якого має довжину   то   - площина фігури, на яку її площа збільшується. Зрозуміло, що за малих   головну частину цієї площини складає площина двох прямокутників, яка дорівнює   тобто диференціалу функції   Вираз   - площина квадратику, яка нескінченно мала у порівнянні із  

Випадок однієї змінноїРедагувати

Нехай в околі точки   задана функція  .

нехай існує таке  , що   при  .

Позначимо  .

Тоді функція   називається диференціалом функції   в точці  .

Випадок багатьох зміннихРедагувати

Приклад 1. Нехай в околі точки   задана функція багатьох змінних  .

Нехай існує такий вектор  , що   при  , де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначимо  .

Тоді функція   називатиметься диференціалом функції   в точці  .


Приклад 2. Тепер нехай   приріст функції   Неперервність частинних похідних   є умовою, достатньою для існування диференціалу. У цьому випадку

 

де   нескінченно мале у порівнянні із   Вираз   є диференціалом функції багатьох змінних.

Відображення між евклідовими просторамиРедагувати

Диференціал відображення - головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина відображеня, яка задається деякою матрицею. Також поняття диференціала можна ввести для відображення між евклідовими просторами ƒ Rn → Rm. Нехай xx ∈ Rn — два вектори в просторі Rn. Зміна значення функції ƒ при зміні аргументу на Δx рівна:

 

Якщо існує m × n матриця A для якої

 

де вектор ε → 0 при Δx → 0, тоді ƒ називається диференційовною в точці x. Матриця A називається матрицею Якобі, а лінійне перетворення, що ставить у відповідності вектору Δx ∈ Rn вектор AΔx ∈ Rm називається диференціалом (x) відображення ƒ в точці x.

Відображення між многовидамиРедагувати

Диференціал в точці   гладкого відображення із гладкого многовиду в многовид   визначається як лінійне відображення між дотичними просторами в точках   і   тобто   таке що для довільної гладкої в точці F(x) функції   виконується рівність:

 

ПриміткиРедагувати

  1. Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46800-0. 
  2. Eisenbud, David; Harris, Joe (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5. 
  3. Boyer, Carl B. (1991). Archimedes of Syracuse. A History of Mathematics (вид. 2nd). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0471543977. 
  4. George G. Joseph (2000), The Crest of the Peacock, pp. 298–300, Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
  5. J. L. Berggren (1990), «Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat», Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304-9
  6. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi в архіві MacTutor (англ.)

ЛітератураРедагувати

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  • Хемминг Р.В. - Численные методы для научных работников и инженеров (2-е издание) - 1972

ПосиланняРедагувати