Відкрити головне меню

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору над полем в векторний простір (над тим же полем )

що має властивість лінійності:

Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр:

    адитивність
    однорідність

Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то і ізоморфізмом.

Лінійне відображення — найважливіше поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.

Лінійне відображення, лінійний оператор - узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції у = кх) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, так як їх властивості не залежать від природи величин.

Часткові випадкиРедагувати

  • Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого  
 

множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до  , який теж є лінійним простором (позначається звичайно  )

 
  • Тотожний оператор — оператор  , що відображає кожен елемент простору   в самого себе.
  • Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору   в нульовий елемент простору  

Композиції лінійних відображеньРедагувати

  • Якщо f:VW і g:WZ є лінійними відображеннями, то відображення gf : VZ також є лінійним.
  • Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
  • Якщо f1:VW і f2:VW є лінійними відображеннями, то відображення f1+f2 (визначене як (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x)) теж є лінійним.
  • Якщо f:VW є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.

В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.

Ядро та образ відображенняРедагувати

  • Ядром лінійного відображення   називається така підмножина   що:
 
Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі  
  • Образом лінійного відображення   називається така підмножина   що:
 
Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі  
  • Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:
 

Число   називається ранг   і записується як   чи   Якщо розмірності   і   скінченні і вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів. І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Матриця лінійного відображенняРедагувати

Якщо в просторі   вибрано базис  , в просторі   вибрано базис  , то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця

 

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора  , тобто координат образу j-го базисного вектора

    в базисі  

Координати   образу   вектора   в базисі   при лінійному відображенні  
виражаються через координати   вектора   в базисі   за формулою:

 

Матриці лінійного відображення в різних базисахРедагувати

Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення   в базисах   і   то

 

де S і T — матриці переходу від базиса   до базиса   і від базиса   до базиса   відповідно:

 
 

При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір):

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

ДжерелаРедагувати