Повна похідна

Повна похідна функції — похідна функції по часу вздовж траєкторії. Нехай функція має вигляд $f(t,u,v,\dots ,z)$ і її аргументи залежать від часу: $u=u(t,x_{1},\dots ,x_{n}),v=v(t,x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,z=z(t,x_{1},\dots ,x_{n})$. Тоді $f(t,u,v,\dots ,z)=g(t,x_{1},\dots ,x_{n})$, де $x_{1},\dots ,x_{n}$ — параметри, що задають траєкторію. Повна похідна функції $f$ (у точці $(t,u,v,\dots ,z)$) у такому випадку дорівнює частковій похідній $g$ по часу (у відповідній точці $(t,x_{1},\dots ,x_{n})$) і обчислюється за формулою:

${df \over dt}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial t}}+\dots +{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial t}}$,

де ${\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial u}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial z}},{\frac {\partial u}{\partial t}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial t}}$ — часткові похідні. Варто зазначити, що позначення ${\frac {df}{dt}}$ є умовним і не стосується операції ділення диференціалів. Окрім цього, повна похідна функції залежить не лише від самої функції, але й від траєкторії.

Наприклад, повна похідна функції $f(x(t),y(t))$:

${df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}$

Тут немає ${\partial f \over \partial t}$, оскільки $f$ сама («явно») не залежить від $t$.

Оператор \ Функція	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Диференціал	1: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Часткова похідна	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Повна похідна	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)$

Див. також

• Часткова похідна
• Конвективна похідна
• Похідна Лагранжа

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Повна похідна на WolframMathWorld