Відкрити головне меню

Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля.

Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування.

Зміст

Нескінченно малаРедагувати

ОзначенняРедагувати

Послідовність   називається нескінченно малою, якщо  . Наприклад, послідовність чисел   — нескінченно мала.

Це ж означення можна викласти і в іншому формулюванні. Послідовність   називається нескінченно малою, якщо вона по абсолютному значенню стає і залишається меншою як завгодно малого наперед заданого числа ε > 0, починаючи з деякого місця.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Властивості нескінченно малоїРедагувати

  • Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала
  • Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала
  • Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала
  • Відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність

Границя нескінченно малої

Постійне число а називається границею послідовності  , якщо різницею між ними є нескінченно мала величина.

Інші означення нескінченно малоїРедагувати

Функція називається нескінченно малою в околиці точки  , якщо  .

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо   або  .

Також нескінченно малою є функція, що являє собою різницю функції і її границі, тобто якщо є  , то   ,  .

Інфінітезимальнийматематичний термін, що вживається, як синонім поняття «нескінченно малий»

Класифікація нескінченно малих величинРедагувати

Порівняння нескінченно малихРедагувати

Нескінченно малі величини порівнюють між собою по характеру їх наближення до нуля.

  • Якщо відношення   (а з ним і  ) мають скінченну і відмінну від нуля границю, то нескінченно малі   та

  вважаються величинами одного порядку.

  • Якщо ж відношення   само виявляється нескінченно малою (а зворотне відношення   нескінченно великою), то нескінченно мала   вважається величиною вищого порядку малості, ніж нескінченно мала  , та одночасно нескінченно мала   буде нижчого порядку малості, ніж нескінченно мала  .

Якщо нескінченно мала   виявляється вищого порядку, ніж нескінченно мала  , то цей факт записують так:  

Шкала нескінченно малихРедагувати

При потребі в точнішій порівняльній характеристиці поводження нескінченно малих, у виразі їх порядків числами, вибирають в ролі "еталона" одну з нескінченно малих, її називають основною. Далі з ступеней основної нескінченно малої   (будемо вважати, що  ) з різними додатніми показниками,  , складають як би шкалу для оцінки нескінченно малих складнішої природи.

  • Домовляються вважати нескінченно малу   величиною к-го порядку (відносно основної нескінченно малої  ), якщо   та   (k > 0) будуть величинами одного порядку, тобто якщо відношення   має кінцеву та відмінну від нуля границю.

Еквівалентні нескінченно маліРедагувати

  • Нескінченно малі   та   вважаються еквівалентними (в знаках  ), якщо їх різниця   є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих   та  :

  та  

Розглянемо дві еквівалентні нескінченно малі   та  , так що  , де  . Якщо наближено припустити  , то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як  , але і відносна похибка, що дорівнює  . Іншими словами, при достатньо малих значеннях   та   можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що  . На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.

Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):

  • Для того, щоб дві нескінченно малі   та   були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було  

Доведення:

Нехай спочатку виконується дане співвідношення, так що

 

Тоді

 

буде величиною вищого порядку, ніж  , тому що

 

Обернено, нехай тепер   та   еквівалентні, тобто   нескінченно мала вищого порядку, ніж  . Наслідком цього маємо

 , звідкіля  

Що і потрібно було довести.

Виокремлення головної частиниРедагувати

Якщо вибрана основна нескінченно мала  , то найпростішими нескінченно малими будемо вважати величини вигляду  , де с - постійний коефіцієнт і k > 0. Нехай нескінченно мала   буде k-го порядку відносно  , тобто

 

Де с - скінченне та відмінне від нуля число. Тоді

 

і нескінченно малі   та   виявляються еквівалентними:  .

Ця найпростіша нескінченно мала  , еквівалентна даній нескінченно малій  , називається її головною частиною (або головним членом)

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати