Відкрити головне меню

Границя — одне з основних понять функціонального аналізу (а також математичного аналізу, який є скінченновимірним випадком функціонального), яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення. Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.

Зміст

Границя послідовностіРедагувати

Стале число   називають границею послідовності (варіанти)  , якщо для кожного додатного числа  , скільки б малим воно не було, існує такий номер  , що всі значення  , в яких номер  , задовольняє нерівності

 

Той факт, що   є границею варіанти, позначають так:   або просто   чи  . Номер   залежить від вибору числа  . При зменшенні   число   буде збільшуватись. Тобто, чим більш близьких значень   до   вимагати, тим ймовірніше більш далеких значення ряду доведеться розглядати.

Границя функціїРедагувати

   
Точка x знаходиться в межах δ одиниць c, f(x) — в межах ε одиниць L.
Для всіх x > S, f(x) перебуває в межах ε із L.

Означення за КошіРедагувати

Нехай  ,   — гранична точка множини A. Число a називають границею функції   у точці  , якщо

 

Позначення:

 

або

  при  

Означення за ГейнеРедагувати

Число A називають границею функції f(x) в точці x0 якщо для довільної послідовності {xn} що збігається до числа x0 відповідна послідовність значеннь функції {f(xn)}збіжна і має границею одне і теж саме число A

Границя послідовності функційРедагувати

Див. такожРедагувати