Границя
Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.
Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.
Границя послідовності
ред.Стале число називають границею послідовності , якщо для кожного додатного числа , скільки б малим воно не було, існує такий номер , що всі значення , в яких номер , задовольняють нерівність
Той факт, що є границею послідовності, позначають так: або просто чи . Номер залежить від вибору числа . При зменшенні число буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени послідовності до вимагати, тим більші значення їх індексів.
Границя функції
ред.Нехай , причому , і — гранична точка множини . У подальшому будемо розглядати функції .
Означення за Коші
ред.Число називається границею функції в точці , якщо для кожного додатного числа існує додатне число таке, що для довільного виконується нерівність
Позначення:
або
- при .
Під і можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані до граничної точки.
Означення за Гейне
ред.Число називається границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , при , що збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .
Наприклад,
- .
Як видно f(1) не визначено, але коли x наближається до 1, то f(x) відповідно наближається до 2:
f(0.9) | f(0.99) | f(0.999) | f(1.0) | f(1.001) | f(1.01) | f(1.1) |
1.900 | 1.990 | 1.999 | не визначено | 2.001 | 2.010 | 2.100 |
Таким чином, f(x) можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши x досить близьким до 1. Тобто
Це також можна обчислити алгебраїчно як для всіх дійсних чисел x ≠ 1.
Оскільки визначене при , то можна підставити 1 замість x, що приведе до рівності
На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію
- ,
для якої
- f(100) = 1.9900
- f(1000) = 1.9990
- f(10000) = 1.9999
Коли x стає надзвичайно великим, значення f(x) наближається до 2, а значення f(x) можна наблизити до 2, зробивши x достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя f(x) при x, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі
Обчислюваність границі
ред.Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, модуль збіжності[en] яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності гранична лема[en] показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі.[1]
Див. також
ред.- Границя функції в точці
- Одностороння границя: будь-яка з двох границь функції дійсної змінної x, коли x прямує до точки зліва або справа
- Список границь: список границь поширених функцій
- Стискна теорема: знаходить границю функції шляхом порівняння її з двома іншими функціями
- Верхня і нижня границі
- Швидкість збіжності
- Асимптотичний аналіз: метод опису граничної поведінки
- Нотація Ландау: використовується для опису граничної поведінки функції, коли аргумент прямує до певного значення або нескінченності
- Фундаментальна послідовність
- Рівномірна збіжність
- Збіжність майже всюди
- Збіжність за мірою
- Збіжність випадкових величин
- Границя в теорії категорій
- Межа (значення)
Джерела
ред.- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
Примітки
ред.- ↑ Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.