Диференціальна форма

Диференціальна форма порядку або -форма — кососиметричне тензорне поле типу на дотичному розшаруванні многовиду.

Диференціальні форми ввів французький математик Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.

Простір -форм на многовиді звичайно позначають .

ВизначенняРедагувати

ІнваріантнеРедагувати

У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня   — це гладкий перетин  -го зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.

Нехай M — гладкий многовид, TpM — дотичний простір многовиду M в точці p, T*pM — кодотичний простір многовиду M в точці p.

Позначмо   — векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:

 

Тоді диференціальна k-форма   — це відображення:

 

в довільній точці pM, при чому

 

де   — довільні гладкі векторні поля.

Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови, називають тоді гладкими диференціальними формами.

Через локальні картиРедагувати

Якщо   — локальна система координат в області  , то форми   утворюють базис у кодотичному просторі  . Тому будь-яка зовнішня k-форма записується в U у вигляді

 

де   — гладкі функції   — диференціал  -ї координати   (функція від вектора, що визначає його координату з номером   ), а   — зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.

На гладкому многовиді, k-форми може бути визначено як форми на картах, які узгоджено на склеюваннях.

Пов'язані визначенняРедагувати

Зовнішня похіднаРедагувати

Докладніше: Зовнішня похідна

Лінійне відображення   називається зовнішньою похідною якщо:

  1. Для   воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
  2.  
  3. Для будь-якої форми виконується рівність  .

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал форми  можна записати за допомогою формули:

  •  
  • Диференціальна форма називається замкненою, якщо її зовнішня похідна дорівнює 0.
  • k-форма називається точною, якщо її можливо представити як диференціал деякої (k-1)-форми.
  • Факторгрупа   замкнених k-форм по точних k-формах називається  -мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі сингулярних когомологій.
  • Внутрішньою похідною форми   по векторному полю   називається форма
 

ВластивостіРедагувати

  • Для диференціалів диференціальних форм   векторного поля   справедливо:
 
 
 
 
 
  • Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінійних кососиметричних функцій від   векторів.
  • Внутрішнє диференціювання є лінійним і задовольняє градуйованому правилу Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопії:
     

Алгебраїчні операціїРедагувати

Диференціальні форми порядку  , задані у диференціальному многовиді  , утворюють модуль   над кільцем  . Зокрема для диференціальних форм порядку   визначено додавання і множення на функцію :

  ;
 .
Зовнішній добуток
Зовнішній добуток форм   і   порядків   і   визначається за допомогою наступної формули :
 ,
де   позначає знак перестановки   і сума береться по всіх перестановках   чисел  . Результатом добутку є диференціальна форма порядку  .

З визначеними алгебраїчними операціями множина  , є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм   і   порядків   і  , Виконується

 .

Зворотний образРедагувати

Якщо відображення   є гладким,   — диференціальна форма порядку   на многовиді  , тоді можна визначити диференціальну форму   порядку   визначену на  :

 .

Дане відображення задовольняє рівностям:

  •  
  •  
  •  
де   — диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.

Отже, відображення   визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.

Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x1, …, xm — координати на M, that y1, …, yn — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями yi = fi(x1, …, xm) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як

 

де для довільного вибору i1, …, ik,   — дійсна функція змінних y1, …, yn. З властивостей зворотного образу одержується формула для f*ω :

 

Кожну зовнішню похідну dfi може бути записано в термінах dx1, …, dxm. Відповідну k-форму може бути записано за допомогою матриці Якобі:

 

ІнтегруванняРедагувати

Нехай

 

диференціальна форма і S — диференційовний многовид параметризований в деякій області  :

 . Тоді можна визначити інтеграл:
 

де

  — визначник матриці Якобі.

Теорема СтоксаРедагувати

Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:

Якщо   — n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:
 

Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса — Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.

Диференціальні форми в електромагнетизміРедагувати

Максвеллівська електродинаміка вельми елегантно формулюється мовою диференціальних форм в 4-вимірному просторі-часі. Розглянемо 2-форму Фарадея, що відповідає тензору електромагнітного поля:

 

Ця форма є формою кривини тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого може бути описано класичну електродинаміку та калібрувальну теорію. 3-форма струму, дуальна до 4-вектору струму, має вигляд

 

У цих позначеннях рівняння Максвелла може бути дуже компактно записано як

 ,
 ,

де   — оператор зірки Годжа. Подібним чином може бути описано геометрію загальної калібрувальної теорії.

2-форма   також називається 2-формою Максвелла.

ПрикладиРедагувати

  • З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторне поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці   многовиду   і що відображає елементи дотичного простору   у множину дійсних чисел  :
     
  • Форма об'єму — приклад  -форми на  -мірному многовиді.
  • Симплектична форма — замкнена 2-форма   на  -многовиді, така що  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • В. А. Зорич, Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  • У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
  • Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
  • Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
  • Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1