Відкрити головне меню

Теорема Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом по замкнутому контуру і подвійним інтегралом по області , обмеженій цим контуром. Фактично, ця теорема є окремим випадком загальнішої теореми Стокса. Теорема названа на честь англійського математика Джорджа Гріна.

Зміст

ФормулюванняРедагувати

 
  — область, обмежена замкнутою кривою  

Нехай   — додатно орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а   — область, обмежена кривою  . Якщо функції  ,   визначені в області   і мають неперервні часткові похідні  ,  , то

 

На символі інтеграла часто малюють коло, щоб підкреслити, що крива   замкнута.

ДоведенняРедагувати

Нехай область   — криволінійна трапеція (область, правильна в напрямі  ):

 

Для кривої  , що обмежує область  , задамо напрям обходу за годинниковою стрілкою.

Тоді:

 
 

Помітимо, що обидва одержані інтеграли можна замінити криволінійними інтегралами:

 
 

Інтеграл по   береться із знаком «мінус», оскільки, згідно з орієнтацією контура,   напрям обходу даної частини — від   до  .

Криволінійні інтеграли по   і   будуть рівні нулю, оскільки  :

 
 

Замінимо в (1) інтеграли згідно з (2) і (3), а також додамо (4) і (5), що рівні нулю і не впливають на значення виразу:

 

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою при правій орієнтації площини є від'ємним напрямом, то сума інтегралів в правій частині є криволінійним інтегралом по замкнутій кривій   у від'ємному напрямі:

 

Аналогічно доводиться формула:

 

якщо як область   узяти область, правильну в напрямі  .

Віднімаючи (6) з (7), одержимо:

 

Зв'язок з формулою ОстроградськогоРедагувати

Розглядаючи двовимірне векторне поле, теорема Гріна рівнозначна двовимірному випадку формули Остроградського:

 

де   це дівергенція двовимірного векторного поля  , а   це нормаль на границі, що вказує назовні.

Що побачити це, розглянемо одиничну нормаль   у правій частині рівності. Оскільки в теоремі Гріна   це вектор спрямований уздовж дотичної до кривої, і крива C додатно орієнтована (тобто проти годинникової стрілки) крива вздовж границі, зовнішня нормаль це вектор спрямований 90° праворуч від цього; можна обрати  . Цей вектор завдовжки   Тому  

Отже,

 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати