Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.

Узагальнена теорема

У термінах диференціальних форм теорема записується формулою

$\int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega$

тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми $\omega$ по області $\Omega$ дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського.

Класична теорема

Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле $\mathbf {a}$ в $n$-мірному просторі, в якому задана система координат $x^{1},x^{2},\dots x^{n}$. Якщо в цьому просторі заданий контур $L$ (замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид $S$, то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контуру з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:

$(1)\qquad \oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {l} =\iint _{S}{\text{rot}}\;\mathbf {a} \;d\sigma$

або в координатах:

$(1a)\qquad \oint _{L}a_{i}dx^{i}=\iint _{S}\sum _{i<j}(\nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i})\;d\sigma ^{ij}$

Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини ($n=2$) ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях ($S$ — є частиною площини, обмеженою контуром):

$(2)\qquad \oint _{L}Pdx+Qdy=\iint _{S}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy$

Для фізики, особливо електродинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат $Oxyz$ з правою орієнтацією. Ротор вектора $\mathbf {a} =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}$ можна позначати вектором з координатами:

$({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{x}=(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {a} )_{x}=\nabla _{z}a_{y}-\nabla _{y}a_{z}=\partial _{z}a_{y}-\partial _{y}a_{z}$

$({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{y}=\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z}$

$({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{z}=\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x}$

Орієнтація елементарної площинки задається одиничним вектором нормалі $\mathbf {n}$. В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:

$(3)\qquad \oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {l} =\iint _{S}({\text{rot}}\;\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )dS$

Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проєкціям контуру:

$(4)\qquad \oint _{L}a_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz=\iint (\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x})dxdy+\iint (\partial _{y}a_{z}-\partial _{z}a_{y})dydz+\iint (\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z})dxdz$

Доведення

Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.

Розглянемо в $n$-мірному просторі криву $x^{i}=x^{i}(t)$, (параметр $t$ пробігає значення від нуля до одиниці $t\in [0,1]$), що сполучає дві точки $P$ (при $t=0$) і $Q$ (при $t=1$). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал $\Phi$, що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру $t$):

$(5)\qquad \Phi =\int _{P}^{Q}a_{i}dx^{i}=\int _{0}^{1}a_{i}{\dot {x}}^{i}dt$

Тепер розглянемо близьку криву ${\tilde {x}}^{i}=x^{i}+\delta x^{i}$, яка сполучає ті самі точки $P$ і $Q$. Варіація кривої $\delta x^{i}=\delta x_{i}(t)$ на кінцях перетворюється в нуль: $\delta x_{i}{\big |}_{t=0}=\delta x_{i}{\big |}_{t=1}=0$. Варіація функціоналу дорівнює:

$(6)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}\delta (a_{i}{\dot {x}}^{i})dt=\int _{0}^{1}\delta (a_{i}){\dot {x}}^{i}dt+\int _{0}^{1}a_{i}{d(\delta x_{i}) \over dt}dt$

В першому інтегралі компоненти векторного поля $a_{i}$ залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі $t$):

$\ a_{i}=a_{i}(x^{1}(t),x^{2}(t),\dots x^{n}(t))$

тому варіація векторного поля дорівнює:

$\delta a_{i}={\partial a^{i} \over \partial x^{j}}\delta x^{j}$

В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:

$\int _{0}^{1}a_{i}{d(\delta x_{i}) \over dt}dt=a_{i}\delta x^{i}{\bigg |}_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{da^{i} \over dt}\delta x^{i}dt=-\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}{\dot {x}}^{j}\delta x^{i}dt$

Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:

$(7)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}({\dot {x}}^{i}\delta x^{j}-{\dot {x}}^{j}\delta x^{i})dt=\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}d\sigma ^{ij}$

де введено позначення координат елементарної пощинки — антисиметричного тензора паралелограма між кривою і близькою до нею кривою:

$d\sigma ^{ij}=({\dot {x}}^{i}\delta x^{j}-{\dot {x}}^{j}\delta x^{i})dt=dx^{i}\delta x^{j}-dx^{j}\delta x^{i}$

Цей паралелограм побудований на векторах $dx^{i},\;\delta x^{i}$. Дві вершини цього паралелограма ($x^{i}(t),\;x^{i}(t+dt)$) лежать на оригінальній кривій. а дві інших (${\tilde {x}}^{i}(t),\;{\tilde {x}}^{i}(t+dt)$) на близькій кривій.

Оскільки тензор $d\sigma ^{ij}$ антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:

$(8)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}d\sigma ^{ij}=-\int _{0}^{1}{\partial a^{j} \over \partial x^{i}}d\sigma ^{ij}={1 \over 2}\int _{0}^{1}({\partial a^{i} \over \partial x^{j}}-{\partial a^{j} \over \partial x^{i}})d\sigma ^{ij}$

Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:

${\partial a^{i} \over \partial x^{j}}-{\partial a^{j} \over \partial x^{i}}=(\partial _{j}a_{i}-\Gamma _{ji}^{k}a_{k})-(\partial _{i}a_{j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k})=\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j}$

Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні ($i\neq j$), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник $1 \over 2$.

$(9)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}\sum _{i<j}(\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j})d\sigma ^{ij}$

Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса. На замкнутому контурі $L$ візьмемо дві точки (не обов'язково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань) $P$ і $Q$. Контур розіб'ється на дві різні криві $L_{1}$ i $L_{2}$, що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки $P$ до точки $Q$. Тоді символічно можна записати:

$L=L_{1}-L_{2}$

і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.

$(10)\qquad \oint _{L}a_{i}dx^{i}=\int _{L_{1}}a_{i}dx^{i}-\int _{L_{2}}a_{i}dx^{i}=\Phi (L_{1})-\Phi (L_{2})$

Тепер розглянемо двомірний многовид $S$, натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на $S$, почавши з кривої $L_{2}$, і закінчуючи кривою $L_{1}$ (проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

$(11)\qquad \Phi (L_{1})-\Phi (L_{2})=\int _{L_{2}}^{L_{1}}\delta \Phi =\iint _{S}\sum _{i<j}(\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j})d\sigma ^{ij}$

Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.

Див. також

• Потенціальне векторне поле
• Теорема Остроградського — Гаусса

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Теорема Стокса(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.