Відкрити головне меню

Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.

У термінах диференціальних форм теорема записується формулою

тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми по області дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського.

ФормулаРедагувати

Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле   в  -мірному просторі, в якому задана система координат  . Якщо в цьому просторі заданий контур   (замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид  , то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контура з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:

 

або в координатах:

 

Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини ( ) ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях (  — є частиною площини, обмеженою контуром):

 

Для фізики, особливо електродинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат   з правою орієнтацією. Ротор вектора   можна позначати вектором з координатами:

 
 
 

Орієнтація елементарної площинки задається одиничним вектором нормалі  . В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:

 

Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проекціям контура:

 

ДоведенняРедагувати

Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.

Розглянемо в  -мірному просторі криву  , (параметр   пробігає значення від нуля до одиниці  ), що сполучає дві точки   (при  ) і   (при  ). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал  , що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру  ):

 

Тепер розглянемо близьку криву  , яка сполучає ті самі точки   і  . Варіація кривої   на кінцях перетворюється в нуль:  . Варіація функціоналу дорівнює:

 

В першому інтегралі компоненти векторного поля   залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі  ):

 

тому варіація векторного поля дорівнює:

 

В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:

 

Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:

 

де введено позначення координат елементарної пощинки — антисиметричного тензора паралелограма між кривою і близькою до нею кривою:

 

Цей паралелограм побудований на векторах  . Дві вершини цього паралелограма ( ) лежать на оригінальній кривій. а дві інших ( ) на близькій кривій.

Оскільки тензор   антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:

 

Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:

 

Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні ( ), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник  .

 

Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса. На замкнутому контурі   візьмемо дві точки (не обов'язково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань)   і  . Контур розіб'ється на дві різні криві   i  , що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки   до точки  . Тоді символічно можна записати:

 

і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.

 

Тепер розглянемо двомірний многовид  , натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на  , почавши з кривої  , і закінчуючи кривою   (проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

 

Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати