Потенціальне векторне поле

Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці — векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля.

У фізиці, що має справу з силовими полями, математичну умову потенційності силового поля можна представити як вимогу рівності нулю роботи при переміщенні частинки, на яку діє поле, по замкнутому контуру. Як потенціал поля в цьому випадку можна вибрати роботу з переміщення пробної частинки з деякої довільно вибраної початкової точки в задану точку (за означенням, ця робота не залежить від шляху переміщення). Наприклад, потенційними є статичне електричне поле, а також гравітаційне поле в ньютоновій теорії гравітації.



Нехай у -вимірному многовиді (можна навіть з ненульовою внутрішньою кривиною) задана система координат і потенціальне векторне поле з коваріантними координатами , яке представляється градієнтом скалярного потенціалу :

Покажемо, що необхідною і достатньою умовою потенційності є рівність нулю ротора поля:

НеобхідністьРедагувати

Якщо поле   потенціальне, тобто виконується рівність (1), то при підстановці (1) в (2) одержуємо:

 

Але остання різниця дорівнює нулю в силу рівності мішаних похідних.


ДостатністьРедагувати

Нехай тепер у нас задано таке векторне поле, що його ротор скрізь дорівнює нулю, тобто справедлива рівність (2). Спробуємо побудувати для цього векторного поля такий скаляр  , щоб виконувалась рівність (1).

Почнемо з розгляду властивості криволінійних інтегралів. Нехай ми маємо у многовиді криву  , яка сполучає дві фіксовані точки   і  . Криволінійний інтеграл   є функціоналом від кривої  :

 

Обчислення варіації цього функціонала, проведені в статті Теорема Стокса дають:

 

Оскільки ротор за умовою скрізь дорівнює нулю, то і варіація функціонала (3) теж дорівнює нулю — отже цей функціонал є константою, яка на залежить від кривої (при фіксованих кінцях кривої   і  ). Отже криволінійний інтеграл (3) є просто функцією від двох точок — кінців кривої  :

 

Зафіксуємо одну із точок многовиду, нехай для визначеності, це буде початок системи координат  , тоді ми матимемо таке скалярне поле:

 

Нам тепер треба лише показати, що градієнт цього поля дорівнює  .
Розглянемо дві близькі точки   і  . Проведемо з початку координат криву   до точки  , а потім продовжимо цю криву коротким відрізком  , що іде від точки   до точки  . Продовжена крива   сполучає початок координат з точкою  . Отже:

 

і ми можемо записати приріст функції   через інтеграл по відрізку:

 

Розглянемо координати точки  . Нехай точка   відрізняється від неї лише однією (хай першою) координатою  , а решта координат зафіксовані. Тоді в інтегралі (8) (по відрізку вздовж першої координати) буде відмінний від нуля лише диференціал першої координати   і ми одержимо простий визначений інтеграл

 

Поділивши асимптотичну рівність (9) на   і переходячи до границі, маємо:

 

і аналогічно для решти координат. Формулу (1) доведено.