Відкрити головне меню

Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле.

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.

Зміст

ПозначенняРедагувати

  (використовується в російськомовній літературі, також в багатьох країнах Європи) або
  (в англомовній),
а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:
 

ПрикладРедагувати

Обертання навколо осі   зі сталою кутовою швидкістю   (траєкторії є колами з центром на  осі):  

Тоді   Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.

Фізичне значенняРедагувати

Розглянемо ротор у xy-площині. Ми інтерпретуємо ротор як подвоєну кутову швидкість маленького гребного колеса у цій точці.

Функцію   можна розглядати як вимір тенденції   створювати обертання. Інтерпретуючи   як силове поле або поле швидкостей,   примушуватиме об'єкт розташований у точці   обертатись із кутовою швидкістю пропорційною до  

Щоб бачити це використаємо гребне колесо з радіусом   і центром у   і вертикальною віссю. Нас цікавить як швидко обертатиметься колесо. Якби колесо мало лише одну лопать, швидкість цієї лопаті було б   тобто дорівнювала б складовій сили перпендикулярній до лопаті (спрямованій уздовж дотичної).

Оскільки   не однакова уздовж усього кола, якщо б колесо мало лише одну лопать, то його обертання було б нерівномірним. Але якщо лопатей багато, тоді колесо крутилось би із швидкістю, що дорівнювала б середньому значенню   уздовж кола. Це значення можна знайти шляхом інтегрування і ділення на довжину кола:

швидкість лопаті  
  згідно з теоремою Гріна
 

де   це значення функції у   Обґрунтуванням останнього наближення є те, що якщо коло утворене гребним колесом маленький, тоді   по всьому регіону має значення приблизно   отже множачи цю сталу на площу круга ми отримуємо значення подвійного інтеграла. З цього ми виводимо дотичну швидкість гребного колеса:

 

Ми можемо позбутися   використавши кутову швидкість:

 

ДжерелаРедагувати