Відкрити головне меню

Символи Крістофеля (позначаються ) — це коефіцієнти компенсаційного доданка, який зменшує вплив викривлення системи координат на диференціювання векторів та тензорів. Існує також альтернативна назва для символів Крістофеля — коефіцієнти афінної зв'язності.

Символи Крістофеля не є тензором, бо не підкоряються тензорному правилу переходу в іншу систему координат.


Розглянемо -вимірний многовид, вміщений в -вимірний евклідовий простір (). Точки евклідового простору будемо зображати радіус-вектором , який в прямокутних декартових координатах має вигляд:

Многовид в цьому просторі задається параметрично вектор-функцією:

Параметри є координатами на многовиді. Часткові похідні радіус-вектора по цих координатах будуть дотичними векторами до многовиду і утворюють базис в дотичному афінному підпросторі[en] евклідового простору.

Розглянемо другу похідну радіус-вектора многовида по параметрах. Це є вектор, який можна розкласти на два вектори — дотичний до многовиду і перпендикулярний :

Дотичний вектор можна розкласти за базисом :

Коефіцієнти розкладу (числа ) вивчав німецький математик Елвін Бруно Крістофель, тому вони називаються символами Крістофеля.

Ми можемо формули (4) і (5) зібрати в одну формулу:

Зміст

Символи Крістофеля першого родуРедагувати

Помножимо рівність (6) скалярно на базисний вектор  , і врахуємо ортогональність вектора  :

 

в останньому виразі ми використали позначення метричного тензора  , який виражається через скалярні добутки базисних векторів. Одержані в правій частині цієї рівності величини називаються символами Крістофеля першого роду, і позначаються тією ж великою літерою «гамма», але з опущеним індексом (і відокремленим комою, щоб підкреслити його особливість у порівнянні з двома іншими індексами):

 

Ми можемо також навпаки, виразити звичайні символи Крістофеля (які називаються аналогічно символами Крістофеля другого роду) через символи Крістофеля першого роду, домноживши (8) на обернений метричний тензор  :

 

Симетрія по нижніх індексахРедагувати

Внаслідок теореми про рівність змішаних похідних   і з рівності (8) ми одержуємо, що символи Крістофеля першого роду симетричні по перших двох індексах:

 

Те саме стосується символів Крістофеля з верхнім індексом внаслідок (9), дійсно:

 

Зв'язок з метричним тензоромРедагувати

Візьмемо частинну похідну від компоненти метричного тензора (яка, як відомо, дорівнює скалярному добутку базисних векторів):

 

Для спрощення запису подальших формул, введемо наступне позначення оператора частинної похідної:

 

Тоді з формул (12) і (8) маємо формулу, яка виражає похідні метричного тензора через символи Крістофеля першого роду:

 

Можна також і навпаки, виразити символи Крістофеля через похідні метричного тензора. Для цього з формули (14) утворимо ще дві еквівалентні формули, циклічно переставляючи індекси  :

 
 

Якщо додати дві останні формули і від суми відняти (14), одержимо з врахуванням симетрії символів Крістофеля:

 

звідки одержуємо формули для символів Крістофеля:

 
 

Ми бачимо, що символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора, а тому є поняттям внутрішньої геометрії многовиду і системи координат у многовиді.

Формули згортокРедагувати

Із формули (18) можна обчислити згортки символів Крістофеля:

 
 

де буквою без індексів   позначено визначник матриці метричного тензора  . Вивід цих формул дивіться тут.

Перехід в іншу систему координатРедагувати

Нехай на многовиді окрім параметрів   задано також інший набір параметрів  , які задають іншу систему координат.

Введемо такі позначення для (взаємно обернених) матриць переходу між цими системами координат:

 

Базисні вектори в новій системі координат виражаються через старий базис за тензорним законом:

 

Знайдемо, як виглядатиме формула (6) в новій системі координат. Спершу обчислюємо другу похідну:

 

В останньому доданку розпишемо   за формулою (6):

 

У формулі (24) зберемо докупи доданки з дотичними до многовиду векторами  , перейменувавши при потребі індекси за якими іде згортка, і окремо виділимо ортогональний доданок:

 

Запишемо для порівняння також формулу (6) у новій системі координат.

 

Із формул (25) і (26) ми можемо зробити два висновки. По-перше, вектори повної кривини   при заміні координат змінюються за тензорним законом:

 

А по-друге, символи Крістофеля змінюються за таким правилом:

 

яке можна переписати, виразивши символи Крістофеля в новій системі координат:

 

Цей закон перетворення не тензорний, завдяки наявності доданка другої похідної. Як наслідок, для довільного многовида і окремо взятої точки на многовиді можна підібрати таку систему координат, що всі символи Крістофеля стануть нульовими.

Обчислення символів Крістофеля в евклідовому просторіРедагувати

Нехай нашим многовидом буде евклідовий простір (з нульовим тензором Рімана), в якому задана декартова система координат   і криволінійна система координат  . У декартових координатах всі символи Крістофеля   тотожно дорівнюють нулю. А для символів Крістофеля в криволінійній системі координат внаслідок (29) одержуємо наступну формулу:

 

або

 

При обчисленні формули (30) ми врахували взаємну оберненість матриць:

 

і те, що похідна від константи   дорівнює нулю.

Див. такожРедагувати