Ортогональність

Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, який узагальнює перпендикулярність векторів на білінійні форми.

Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.

Визначення

Нехай $R$ — прегільбертів простір. Елементи $x\in R$, $y\in R$ називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0:

$\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=0$,

що позначається $x\perp y$.

Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.

Якщо для системи векторів $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ простору $R$ визначник Грама дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В Евклідовому просторі

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Ортогональні функції

Дві дійсні функції $f(x)$ та $g(x)$ є ортогональними одна щодо одної у інтервалі $a\leq x\leq b,$ якщо

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0.$

Скалярний добуток двох функцій можна ввести також і з деякою ваговою функцією w(x):

$\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.$

Подібно до векторів, набір функцій можна ортогоналізувати використовуючи, наприклад, процес Грама — Шмідта.

Норму можна визначити через скалярний добуток:

$\|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}$

Див. також

• Перпендикулярність
• Базис (математика)
• Ряд Фур'є, Ряд Тейлора
• Ортогональна група
• Ортогональна матриця
• Ортогональність (хімія)

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)