Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, який узагальнює перпендикулярність векторів на білінійні форми.

Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.

Визначення

ред.

Нехай   — прегільбертів простір. Елементи  ,   називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0:

 ,

що позначається  .[1]

Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2]

Якщо для системи векторів   простору   визначник Грама дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В Евклідовому просторі

ред.

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Ортогональні функції

ред.

Дві дійсні функції   та   є ортогональними одна щодо одної у інтервалі   якщо

 

Скалярний добуток двох функцій можна ввести також і з деякою ваговою функцією w(x):

 

Подібно до векторів, набір функцій можна ортогоналізувати використовуючи, наприклад, процес Грама — Шмідта.

Норму можна визначити через скалярний добуток:

 

Див. також

ред.

Посилання

ред.
  1. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М. : Высшая школа, 2004. — Т. 2. — 720 с.(рос.)
  2. Кудрявцев Л. Д. с. 331

Література

ред.