Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий, and грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів.

Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.

ВизначенняРедагувати

Нехай   — прегільбертів простір. Елементи  ,   називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто  ; що позначається  .[1]

Множина векторів називається ортогональною якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2]

Якщо для системи векторів   простору   визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В Евклідовому просторіРедагувати

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі, два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто, кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Ортогональні функціїРедагувати

Дві дійсні функції   та   є ортогональними одна щодо одної у інтервалі   якщо

 

Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) для вектори   є ортогональними, коли

 

У  -вимірному просторі вектори ортогональні, якщо   У  -вимірному просторі, у якому   мають неперервний розподіл,   є неперервною змінною   таким чином   переходить у   Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у  -вимірному просторі. Інтеграл

 

визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.

Якщо дана похідна, неперервна на відрізку  , функції   і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій   для якої існує   то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю   Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції   замінюється таким самим числом числом нових функцій   які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто

 

Такий алгоритм має назву процесу Грама-Шмідта.

На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку   замінюється на   Функція   має вигляд   де   отримується з умови   Маємо

 

Таким чином, знаходячи перші   функцій   приходимо до функції   яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції   Відповідно,

  - цей вираз можна помножити на   й проінтегрувати отриманий вираз

 

Умова   дає   Щоб послідовно обчислити   можна застосувати рівняння

 

Або через визначники можна записати

 

де  - Визначник Грама для функції  

 

Функції   є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.

ПосиланняРедагувати

  1. Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ, т. 2. с. 331. 
  2. Кудрявцев Л. Д. с. 331

Див. такожРедагувати