Відкрити головне меню
Стан вібруючої струни можна змоделювати як точку у гільбертовому просторі. Декомпозиція вібруючої струни на її вібрації в різних обертонах задається проекцією точки на координатні осі в просторі.

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута.

ОзначенняРедагувати

Гільбертовим простором називається[1][2] векторний простір  над полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком - функцією від двох змінних  (або  , у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

  1.   для кожного  
  2.   тоді і лише тоді, коли  
  3.   для довільних трьох  
  4.  , де  ,   - елемент скалярного поля. (  або  )
  5.  
  6. Для довільної послідовності  , для якої виконано (умова фундаментальності)
 ,
знайдеться елемент  , що для нього
 .
Тоді кажуть, що   є границею послідовності  .

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку:  .

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось  , хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як   (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою  .

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору   так і ермітового простору  

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення   між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів   виконується рівність   За допомогою тотожності паралелограма,

 

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі;   - довільні) доводиться, що   є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто   для будь-якого   Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

ПрикладиРедагувати

1. Простір   що складається зі збіжних послідовностей комплексних чисел — тобто, послідовностей, для яких

 

із ермітовим скалярним добутком

 

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що   тобто ряд збігається — не очевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших   членів послідовностей   і   Отож, отримуємо, що

 

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір   — повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір   квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку   утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на  :

 

Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторіРедагувати

У будь-якому гільбертовому просторі   можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в  

Система векторів   гільбертового простору   що індексується множиною   називається ортогональною, якщо   для будь-яких   і ортонормальною, якщо додатково   для будь-якого  

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у  

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору   називається ортонормальним базисом у   Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

Координати вектора   відносно данного ортонормального базису — це скаляри   Вектор   повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

 

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченовимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису   будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір   стає ізоморфним до  

Дійсно, розгляньмо відображення

 

яке будь-якому вектору   ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису   Тоді   — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом   Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Рівність ПарсеваляРедагувати

Припустимо, що   — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі   Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів  

 

де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається нерівністю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

  де
 коефіцієнти Фур'є дійсної функції   За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції   утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі  

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space
  2. В.М.Кадец, Курс функционального анализа, Х:Видавництво ХНУ, 2004 - с.290

ЛітератураРедагувати

  • Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.
  • Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Наука, 1967. — 416 с.
  • Иосида К. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967. — 624 с.