Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.

Зміст

ТвердженняРедагувати

Нехай маємо:

  • Гільбертів простір H
  • Лінійний обмежений функціонал   у просторі  

Тоді існує єдиний елемент   простору   такий, що для довільного   виконується  .

Також виконується рівність

 

ДоведенняРедагувати

  ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором  .

Існування  Редагувати

Якщо  , достатньо взяти  .

Якщо ж  , тоді   . Відповідно можна знайти елемент  ,

 , позначимо  .

Оскільки очевидно   маємо за означенням b, що  . З лінійності скалярного добутку отримуємо:

 

Звідси  .

Нарешті

 

де позначено  .

Єдиність  Редагувати

Припустимо   і   елементи   Що задовольняють  .

Для всіх   справджується   зокрема   звідки й отримується рівність  .

Рівність нормРедагувати

Для доведення   спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо:  . Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо:   З іншого боку   звідки  . Поєднуючи дві нерівності одержуємо  

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати