Не плутати з позначенням функції.

Функція довжини кривої визначається на векторному просторі спрямних кривих (підпростір простору ) і набуває дійсних значень. Це приклад нелінійного функціоналу.
Інтеграл Рімана є лінійним функціоналом на векторному просторі інтегровних за Ріманом функцій на відрізку , де

У математиці термін функціонал (як іменник) має щонайменше три значення.

  • У математичному аналізі (більш загально та історично) функціонал — це відображення з простору у простір дійсних чисел, або іноді і в простір комплексних чисел, з метою встановлення обчислювальних структур простору . Залежно від автора, такі відображення можуть вважатися лінійними чи нелінійними, або визначатись на всьому просторі .

Ця стаття стосується переважно другого значення, яке виникло на початку 18 століття як частина варіаційного числення. Перше значення, яке є більш сучасним та абстрактним, детально обговорюється в окремій статті під назвою «Лінійна форма». Третє значення детально описано у статті про функції вищого порядку.

Як правило простір — це простір функцій. У цьому випадку функціонал — це «функція від функції», і деякі автори фактично використовують термін «функціонал» для позначання «функція від функції». Однак вимога, що — це простір функцій, не є математично суттєвою, тому це старе означення вже не є поширеним.

Термін походить з варіаційного числення, де необхідно знаходити функцію, яка мінімізує заданий функціонал. Особливо важливим застосуванням у фізиці є знаходження стану системи, що мінімізує функціонал енергії[en].

ВластивостіРедагувати

ДуальністьРедагувати

Відображення

 

є функцією, де   є аргументом функції  . У той же час відображення функції у значення функції в точці

 

є функціоналом, тут  параметр.

За умови, що   — лінійна функція з векторного простору на скалярне поле, вищевказані лінійні відображення є дуальними один одному, і в функціональному аналізі ці відображення називаються лінійними функціоналами.

Визначений інтегралРедагувати

Інтеграли, такі як

 

формують особливий клас функціоналів. Вони відображають функцію   у простір дійсних чисел при умові, що функція   є дійснозначною.

Приклади включають:

  • площа під графіком додатньо визначеної функції  
 
 
 

Предгільбертів простірРедагувати

Нехай  предгільбертів простір[en],   — фіксований вектор, тоді відображення   є лінійним функціоналом на просторі  . Набір векторів   такий, що  , є векторним підпростором простору  , який називається нуль-простором або ядром функціоналу, або ортогональним доповненням  , що позначається як  .

Наприклад, скалярний добуток з фіксованою функцією   визначає (лінійний) функціонал на гільбертовому просторі   квадратично інтегровних функцій на відрізку  :

 

ЛокальністьРедагувати

Якщо значення функціоналу можна обчислити для невеликих сегментів заданої кривої, а потім підсумувати, щоб знайти загальне значення, то у цьому випадку функціонал називається локальним. В іншому випадку функціонал називається нелокальним. Наприклад, функціонал

 

є локальним, а функціонал

 

є нелокальним. Зазвичай, це трапляється тоді, коли інтеграли зустрічаються окремо в чисельнику та знаменнику рівняння. Наприклад, при розрахунках центру мас.

Розв’язування рівняньРедагувати

Див.\ статтю про функціональні рівняння.

Традиційним є використання функціоналів у функціональних рівняннях, тобто рівняннях між функціоналами: рівняння   між функціоналами можна сприймати як «розв'язати рівняння», при цьому розв'язком є функція. У таких рівняннях може бути кілька наборів невідомих. Наприклад, кажуть, що функція   аддитивна, якщо вона задовольняє функціональне рівняння

 

Похідна та інтегралРедагувати

Див.\ статтю про варіаційне числення.

Функціональні похідні використовуються в механіці Лагранжа. Це похідні функціоналів, тобто вони несуть інформацію про те, як змінюється функціонал при незначних змінах функції.

Річард Філіпс Фейнман використовував функціональні інтеграли[en] як провідну ідею в інтегралі вздовж траєкторій при формуванні квантової механіки. Таке застосування має на увазі інтеграл взятий над деяким функціональним простором[en].

Для квантової системи, яка описується гамільтоніаном  , для довільної хвильової функції   можна побудувати функціонал

 ,

який є відображенням простору хвильових функцій на простір дійсних чисел. Відомо, що мінімальне значення цього функціоналу досягається для хвильової функції, що описує основний стан квантової системи.

Див. такожРедагувати


ЛітератураРедагувати