Лінійна форма

Лінійна форма, лінійний функціонал, 1-форма, коваріантний вектор або ковектор (англ. linear form, linear functional, one-form, covector) в лінійній алгебрі — лінійне відображення заданого векторного простору в поле скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для модулів над кільцями.

У $\mathbb {R} ^{n}$, якщо вектори представлені у вигляді вектор-стовпців, то лінійні функціонали представляються у вигляді вектор-рядків, а їх дія над векторами задається добутком матриці на вектор-рядок зліва та на вектор-стовпець справа. У загальному випадку, якщо $V$ є векторним простором над полем $k$, то лінійний функціонал $f$ є функцією з простору $V$ в поле $k$, яка є лінійною:

$f({\vec {v}}+{\vec {w}})=f({\vec {v}})+f({\vec {w}})$ для всіх ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V,$

$f(a{\vec {v}})=af({\vec {v}})$ для всіх ${\vec {v}}\in V,$ $a\in k.$

Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору $V$ в поле $k$ (позначається як ${\rm {Hom}}_{k}(V,k)$) утворює векторний простір над полем $k$ з операціями додавання та скалярного множення, що визначені поточково. Цей простір називають спряженим простором простору $V$, або іноді алгебраїчним спряженим простором, щоб відрізнити його від неперервного спряженого простору. Часто його позначають як $V^{*}$, $V'$ або $V^{\vee }$, якщо поле $k$ зафіксовано.

Формальне означення

Нехай $V$ — векторний простір над полем $k$. Відображення $\varphi \colon V\to K$ називається лінійною формою або лінійним функціоналом якщо воно є

• однорідним,

$\forall c\in k\quad \forall \mathbf {x} \in V\quad \varphi (c\mathbf {x} )=c\varphi (\mathbf {x} ),$

• адитивним,

$\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V\quad \varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} ).$

Еквівалентною умовою є виконання рівності

$\forall c,d\in k\quad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V\quad \varphi (c\mathbf {x} +d\mathbf {y} )=c\varphi (\mathbf {x} )+d\varphi (\mathbf {y} ).$

Неперервні лінійні функціонали

Якщо $V$ — топологічний векторний простір, то простір неперервних лінійних функціоналів (неперервних спряжених) часто просто називають спряженим простором. Якщо $V$ — банахів простір, то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають алгебраїчним спряженим простором. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений збігається з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.

Властивості лінійних форм

• Кожна лінійна форма є або тривіальною (рівною нулю для кожного вектора) або сюр'єктивною.
• Лінійна форма є неперервною тоді і тільки тоді, коли її ядро є замкнутою підмножиною. Абсолютне значення довільної лінійної форми над полем дійсних чи комплексних чисел є напівнормою на лінійному просторі, на якому вона визначена.

Приклади

• $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$, що рівна $f(x,y,z)=x+2y+3z.$
• $I\colon C[a,b]\to \mathbb {R}$, що рівна $I(f)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.$

Простір лінійних функціоналів

Множина ${\rm {Hom}}_{k}(V,k)$ всіх лінійних форм $V\rightarrow K$ утворює векторний простір з операціями додавання лінійних форм $\varphi +\psi$, і множення на скаляр $c\varphi$, що визначені поточково, тобто

$(\varphi +\psi )(\mathbf {x} )=\varphi (\mathbf {x} )+\psi (\mathbf {x} )$

і

$(c\varphi )(\mathbf {x} )=c\varphi (\mathbf {x} ).$

Даний простір називається спряженим (або двоїстим) до простору $V$ і позначається $V^{\star }.$

Приклади і застосування

Лінійні функціонали в $\mathbb {R} ^{n}$

Нехай вектори дійсного простору $\mathbb {R} ^{n}$ представлені у вигляді вектор-стовпців

${\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$

Для будь-якого вектор-рядка $[a_{1}\dots a_{n}]$ існує лінійний функціонал $f$, визначений наступним чином:

$f({\vec {x}})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$

і будь-який лінійний функціонал може бути представлений у такій формі.

Це можна проінтерпретувати або як матричний, або скалярний добуток, вектора-рядка $[a_{1}\dots a_{n}]$ і вектора-стовпця ${\vec {x}}$

$f({\vec {x}})=\left[a_{1}\dots a_{n}\right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$

Інтегрування

Лінійні функціонали вперше з'явилися у функціональному аналізі, при вивченні векторних просторів функцій. Типовим прикладом лінійного функціоналу є інтегрування: лінійне перетворення, визначене інтегралом Рімана,

$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

є лінійним функціоналом з векторного простору $C[a,b]$ неперервних на відрізку $[a,b]$ функцій у простір дійсних чисел. Лінійність $I$ випливає із стандартних властивостей інтегралу:

${\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{a}^{b}g(x)\,{\rm {d}}x=I(f)+I(g),\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,{\rm {d}}x=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=\alpha I(f).\end{aligned}}$

Оцінка

Нехай $P_{n}$ — векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня $\leq n$ визначених на відрізку $[a,b]$. Якщо $c\in [a,b]$, тоді відображення $\operatorname {ev} _{c}\colon P_{n}\rightarrow \mathbb {R}$ називається функціоналом оцінки

$\operatorname {ev} _{c}f=f(c).$

Відображення $f\rightarrow f(c)$ лінійне, оскільки

${\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c),\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}$

Якщо $x_{0},\dots ,x_{n}$ — $n+1$ різних точок відрізку $[a,b]$, то функціонали оцінки $\operatorname {ev} _{x_{i}},i=0,1,\dots ,n$, утворюють базис спряженого до $P_{n}$ простору (Лакс, (1996) доводить це, використовуючи інтерполяцію Лагранжа).

Застосування в інтегруванні

Функціонал $I$ визначений вище визначає лінійний функціонал на підпросторі $P_{n}$ многочленів степеня $\leq n$. Якщо $x_{0},\dots ,x_{n}$ — це $n+1$ різних точок у $[a,b]$, тоді є коефіцієнти $a_{0},\dots ,a_{n}$ для яких

$I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n}),$

для всіх $f\in P_{n}$. Це складає основу теорії чисельного інтегрування.

Це випливає з того, що визначені вище лінійні функціонали $\operatorname {ev} _{x_{i}}\colon f\rightarrow f(x_{i})$ утворюють базис спряженого до $P_{n}$ простору.

Лінійні функціонали в квантовій механіці

Лінійні функціонали особливо важливі в квантовій механіці. Квантові механічні системи представлені просторами Гільберта, які є антиізоморфними їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. бра-кет позначення.

Розподіли

У теорії узагальнених функцій деякі види узагальнених функцій, які називаються розподілами, можна представити у вигляді лінійних функціоналів на просторах тестових функцій.

Властивості лінійних функціоналів

• Будь-який лінійний функціонал $L$ є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або сюр'єктивним над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного підпростору при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ $V$ при відображені $L$ теж буде підпростором.
• Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його ядро є замкненим.
• Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними.
• Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є напівнормою на його векторному просторі.

Зображення лінійних функціоналів

Геометрична інтерпретація 1-форми $\alpha$ як стек гіперплощин постійного значення, кожна з яких відповідає тим векторам, які $\alpha$ відображає у задане скалярне значення, показане поруч із нею у порядку "збільшення" значень. Нульова площина      проходить через початок координат.

У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах множин рівнів, множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу — це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними гіперплощинами. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, Гравітація by Misner, Thorne та Wheeler, (1973).

Спряжені вектори та білінійні форми

Лінійні функціонали (1-форми) $\alpha$, $\beta$ та їх сума $\sigma$ та вектори $u$, $v$, $w$, в 3-вимірному евклідовому просторі. Кількість (1-форми) гіперплощин, що перетинаються вектором, дорівнює скалярному добутку.

Кожна невироджена білінійна форма у скінченно-вимірному векторному просторі $V$ породжує ізоморфізм $V\rightarrow V^{*}$ : $v\rightarrowtail v^{*}$ такий, що

$\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall \,w\in V,$

де білінійна форма на $V$ позначається як $\langle \,,\,\rangle$ (наприклад, в евклідовому просторі $\langle v,w\rangle =v\cdot w$  — скалярний добуток $v$ і $w$).

Оберненим ізоморфізмом є $V^{*}\rightarrow V\colon v^{*}\rightarrowtail v$, де $v$ єдиний елемент $V$ такий, що

$\langle v,w\rangle =v^{*}(w)\quad \forall \,w\in V.$

Базис у скінченних розмірностях

Базис спряженого простору в скінченних розмірностях

Нехай векторний простір $V$ має базис ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}$, необов'язково ортогональний. Тоді спряжений простір $V^{*}$ має базис ${\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}$, який називається спряженим базисом, визначеним спеціальною властивістю:

${\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {\text{якщо}} \ i=j,\\0&\mathrm {\text{якщо}} \ i\not =j.\end{matrix}}\right.$

Або, більш коротко,

${\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\delta _{j}^{i},$

де $\delta$ — символ Кронекера. Тут верхні індекси базисних функціоналів не степені, а контраваріантні індекси.

Лінійний функціонал ${\tilde {u}}$, що належить спряженому простору ${\tilde {V}}$, можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних функціоналів з коефіцієнтами (компонентами) $u_{i}$,

${\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\tilde {\omega }}^{i}.$

Тоді, застосувавши функціонал ${\tilde {u}}$ до базисного вектора $e_{j}$, отримаємо

${\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right){\vec {e}}_{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]$

завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді

${\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]=\sum _{i}u_{i}{\delta ^{i}}_{j}=u_{j}.$

Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.

Спряжений базис та скалярний добуток

Якщо у просторі $V$ визначено скалярний добуток, то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ — базис простору $V$ (необов'язково ортогональний). Для розмірності три $(n=3)$ спряжений базис можна записати у явному вигляді:

${\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})={1 \over 2}\left\langle {\sum \limits _{j=1}^{3}\sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}) \over {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}},{\vec {v}}\right\rangle ,$

для $i=1,2,3$, де $\varepsilon$ — символ Леві-Чівіта і $\langle \,,\,\rangle$ — скалярний добуток у просторі $V$.

Для вищих розмірностей це узагальнюється наступним чином:

$\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star {\vec {e}}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{i_{n}})}{\star ({\vec {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{n})}},{\vec {v}}\right\rangle ,$

де $\star$ — оператор зірки Ходжа.

Див. також

• Лінійне відображення
• Спряжений простір
• Розривне лінійне відображення
• Додатний лінійний функціонал
• Полілінійна форма

Література

• Bishop, Richard; Goldberg, Samuel (1980). Chapter 4. Tensor Analysis on Manifolds. Dover Publications. ISBN 0-486-64039-6. 
• Halmos, Paul (1974). Finite dimensional vector spaces. Springer. ISBN 0-387-90093-4. 
• Lax, Peter (1996). Linear algebra. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-11111-5. 
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. 
• Schutz, Bernard (1985). Chapter 3. A first course in general relativity. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27703-5.