Лінійна форма, лінійний функціонал, 1-форма, коваріантний вектор або ковектор (англ. linear form, linear functional, one-form, covector) в лінійній алгебрі — лінійне відображення заданого векторного простору в поле скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для модулів над кільцями.

У , якщо вектори представлені у вигляді вектор-стовпців[en], то лінійні функціонали представляються у вигляді вектор-рядків[en], а їх дія над векторами задається добутком матриці на вектор-рядок[en] зліва та на вектор-стовпець[en] справа. У загальному випадку, якщо є векторним простором над полем , то лінійний функціонал є функцією з простору в поле , яка є лінійною:

для всіх
для всіх

Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору в поле (позначається як ) утворює векторний простір над полем з операціями додавання та скалярного множення, що визначені поточково. Цей простір називають спряженим простором простору , або іноді алгебраїчним спряженим простором, щоб відрізнити його від неперервного спряженого простору. Часто його позначають як , або , якщо поле зафіксовано.

Формальне означенняРедагувати

Нехай   — векторний простір над полем  . Відображення   називається лінійною формою або лінійним функціоналом якщо воно є

  • однорідним,
 
  • адитивним,
 

Еквівалентною умовою є виконання рівності

 

Неперервні лінійні функціоналиРедагувати

Див. також неперервний лінійний оператор[en]

Якщо   — топологічний векторний простір, то простір неперервних лінійних функціоналів (неперервних спряжених) часто просто називають спряженим простором. Якщо   — банахів простір, то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають алгебраїчним спряженим простором. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений співпадає з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.

Властивості лінійних формРедагувати

ПрикладиРедагувати

  •  , що рівна  
  •  , що рівна  

Простір лінійних функціоналівРедагувати

Множина   всіх лінійних форм   утворює векторний простір з операціями додавання лінійних форм  , і множення на скаляр  , що визначені поточково, тобто

 

і

 

Даний простір називається спряженим (або двоїстим) до простору   і позначається  

Приклади і застосуванняРедагувати

Лінійні функціонали в  Редагувати

Нехай вектори дійсного простору   представлені у вигляді вектор-стовпців

 

Для будь-якого вектор-рядка   існує лінійний функціонал  , визначений наступним чином:

 

і будь-який лінійний функціонал може бути представлений у такій формі.

Це можна проінтерпретувати або як матричний, або скалярний добуток, вектора-рядка   і вектора-стовпця  

 

ІнтегруванняРедагувати

Лінійні функціонали вперше з'явилися у функціональному аналізі, при вивченні векторних просторів функцій[en]. Типовим прикладом лінійного функціоналу є інтегрування: лінійне перетворення, визначене інтегралом Рімана,

 

є лінійним функціоналом з векторного простору   неперервних на відрізку   функцій у простір дійсних чисел. Лінійність   випливає із стандартних властивостей інтегралу:

 

ОцінкаРедагувати

Нехай   — векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня   визначених на відрізку  . Якщо  , тоді відображення   називається функціоналом оцінки

 

Відображення   лінійне, оскільки

 

Якщо   —   різних точок відрізку  , то функціонали оцінки  , утворюють базис спряженого до   простору (Лакс, (1996) доводить це, використовуючи інтерполяцію Лагранжа).

Застосування в інтегруванніРедагувати

Функціонал   визначений вище визначає лінійний функціонал на підпросторі   многочленів степеня  . Якщо   — це   різних точок у  , тоді є коефіцієнти   для яких

 

для всіх  . Це складає основу теорії чисельного інтегрування.

Це випливає з того, що визначені вище лінійні функціонали   утворюють базис спряженого до   простору.[1]

Лінійні функціонали в квантовій механіціРедагувати

Лінійні функціонали особливо важливі в квантовій механіці. Квантові механічні системи представлені просторами Гільберта, які є антиізоморфними їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. бра-кет позначення.

РозподілиРедагувати

У теорії узагальнених функцій деякі види узагальнених функцій, які називаються розподілами, можна представити у вигляді лінійних функціоналів на просторах тестових функцій.

Властивості лінійних функціоналівРедагувати

  • Будь-який лінійний функціонал   є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або сюр'єктивним над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного підпростору при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ   при відображені   теж буде підпростором.
  • Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його ядро є замкненим.[2]
  • Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними.
  • Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є напівнормою на його векторному просторі.

Зображення лінійних функціоналівРедагувати

 
Геометрична інтерпретація 1-форми   як стек гіперплощин постійного значення, кожна з яких відповідає тим векторам, які   відображає у задане скалярне значення, показане поруч із нею у порядку "збільшення" значень. Нульова площина      проходить через початок координат.

У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах множин рівнів, множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу — це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними гіперплощинами. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, Gravitation[en] by Misner, Thorne та Wheeler, (1973).

Спряжені вектори та білінійні формиРедагувати

 
Лінійні функціонали (1-форми)  ,   та їх сума   та вектори  ,  ,  , в 3-вимірному евклідовому просторі. Кількість (1-форми) гіперплощин, що перетинаються вектором, дорівнює скалярному добутку.

Кожна невироджена білінійна форма у скінченно-вимірному векторному просторі   породжує ізоморфізм   :   такий, що

 

де білінійна форма на   позначається як   (наприклад, в евклідовому просторі    — скалярний добуток   і  ).

Оберненим ізоморфізмом є  , де   єдиний елемент   такий, що

 

Базис у скінченних розмірностяхРедагувати

Базис спряженого простору в скінченних розмірностяхРедагувати

Нехай векторний простір   має базис  , необов'язково ортогональний. Тоді спряжений простір   має базис  , який називається спряженим базисом, визначеним спеціальною властивістю:

 

Або, більш коротко,

 

де   — символ Кронекера. Тут верхні індекси базисних функціоналів не степені, а контраваріантні індекси.

Лінійний функціонал  , що належить спряженому простору  , можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних функціоналів з коефіцієнтами (компонентами)  ,

 

Тоді, застосувавши функціонал   до базисного вектора  , отримаємо

 

завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді

 

Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.

Спряжений базис та скалярний добутокРедагувати

Якщо у просторі   визначено скалярний добуток[en], то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай   — базис простору   (необов'язково ортогональний). Для розмірності три   спряжений базис можна записати у явному вигляді:

 

для  , де   — символ Леві-Чівіта і   — скалярний добуток у просторі  .

Для вищих розмірностей це узагальнюється наступним чином:

 

де   — оператор зірки Ходжа.


Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Lax, 1996
  2. Rudin, 1991, Theorem 1.18

ЛітератураРедагувати