Спряжений простір

Спря́жений простір — простір лінійних функціоналів на даному лінійному просторі.

Лінійно-спяжений простір - означення

Простір всіх лінійних функціоналів на $E$ утворює лінійний простір. Це простір називається спряженим до $E$ , він зазвичай позначається $E^{*}$ .

Властивості

У скінченновимірному випадку спряжений простір $E^{*}$ має ту ж розмірність, що і простір $E$ .
Якщо простір $E$ евклідів, тобто на ньому визначено скалярний добуток, то існує канонічний ізоморфізм між $E$ і $E^{*}$ .
Якщо простір $E$ гільбертів, то згідно з теоремою Ріса існує ізоморфізм між $E$ і $E^{*}$ .
У скінченновимірному випадку правильно також, що простір, спряжений до спряженого $E^{**}$ , збігається з $E$ (точніше, існує канонічний ізоморфізм між $E$ і $E^{**}$ ).

Позначення

У скінченновимірному випадку звичайно елементи простору $E$ позначають вектором-стовпцем, а елементи $E^{*}$ — вектором-рядком. У тензорному численні застосовується позначення $x^{k}$ для елементів $E$ (верхній, або контраваріантний індекс) і $x_{k}$ для елементів $E^{*}$ (нижній, або коваріантний індекс).

Варіації і узагальнення

У функціональному аналізі, під спряженим простором зазвичай розуміють простір неперервних лінійних функціоналів.
Термін спряжений простір може мати інше значення для лінійних просторів над полем комплексних чисел: простір ${\bar {E}}$ , що збігається з $E$ як дійсний лінійний простір, але з іншою структурою множення на комплексні числа:
${\bar {c}}{\bar {x}}={\overline {cx}}$
- При наявності в просторі ермітової метрики (наприклад, в гільбертовому просторі) лінійно- і комплексно-спряжені простори збігаються.

Джерела

Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
Чарін В.С. (2005). Лінійна алгебра (PDF). Київ: Техніка. с. 416.(укр.)
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)