Простір Lp

Просторами $L^{p}$ в математиці називаються простори вимірних функцій, які при піднесенні до степеня $p\,$ (де $p\geqslant 1$) є інтегровними за Лебегом.

$\ L^{p}$ — найважливіший клас банахових просторів. Окрім того, $\ L^{2}$ — класичний приклад гільбертового простору.

Побудова простору L^p

Визначення 1. Нехай задано простір з мірою $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$. Зафіксуємо $1\leqslant p<\infty$ і розглянемо множину вимірних функцій, визначених на цьому просторі, таких що

$\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty .$

Позначимо цю множину ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ або просто ${\mathcal {L}}^{p}$.

Теорема 1. ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ є лінійним простором. Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега, а також нерівності Мінковського.

На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму:

$\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p}}.$

Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.

Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою, бо якщо $f(x)=0\,$ майже всюди, то $\|f\|_{p}=0$, що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.

Визначення 2. Введемо на ${\mathcal {L}}^{p}$ відношення еквівалентності:

$f\!\sim g$, якщо $f(x)=g(x)\,$ майже всюди.

Це відношення розбиває простір ${\mathcal {L}}^{p}\,$ на класи еквівалентності, причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.

Тоді на побудованому фактор-просторі (тобто множині класів еквівалентності) ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$ можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.

Визначення 3. Фактор-простір $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ з побудованою на ньому нормою називається простором $L^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ або просто $L^{p}\,$.

При $0<p<1\,$, $L_{p}\,$ не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при $0<p<1\,$ $\forall f,g\in L_{p}(\Omega ):\{\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}\geq \{\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}+\{\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}$), проте утворюють метричні простори.

Повнота простору L^p

Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику

$d(f,\;g)=\|f-g\|_{p},$

а отже і поняття збіжності.

Визначення 3. Нехай є послідовність функцій $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$. Тоді ця послідовність збігається до функції $f\in L^{p}$, якщо

$\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$ при $n\to \infty .$

Теорема 2. Простір $L^{p}\,$ є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність $L^{p}\,$ збігається до елементу цього ж простору. Таким чином, $L^{p}\,$ — банахів простір.

Простір L²

У випадку $p=2\,$ введена вище норма породжується скалярним добутком. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність, проєкція і ін.

Визначення 4. Введемо на просторі $L^{2}$ скалярний добуток таким чином:

$\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\mu (dx)$

у випадку, якщо дані функції комплекснозначні, або

$\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\mu (dx),$

якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:

$\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle }},$

тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого $L^{p}\,$, одержуємо:

Теорема 3. Простір $L^{2}\,$ — гільбертів.

Простір L^∞

Розглянемо простір ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням

$\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|,$

одержуємо банахів простір.

Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:

$f_{n}\to f$ у $L^{\infty }$, якщо $\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0$ при $n\to \infty$.

Властивості просторів L^p

• Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі $L^{p}\,$. Нехай $f_{n}(x)=n^{1/p}\,$ при $x\in (0,1/n]$ і $f_{n}(x)=0\,$ при $x\in (1/n,1]$, $f_{n}\in L^{p}$. Тоді $f_{n}\to 0$ майже всюди. Але $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$. Зворотне твердження також невірне.
• Якщо $\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$ при $n\to \infty$, то існує підпослідовність $f_{n_{k}}$, така що $f_{n_{k}}\to f$ майже всюди.
• $L^{p}\,$ функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ — підмножина $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$, що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді $L_{C^{\infty }}^{p}$ всюди щільна в $L^{p}$.
• $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ — сепарабельний простір.
• Якщо $\mu \,$ — скінченна міра, наприклад, ймовірність, і $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$, то $L^{q}\subset L^{p}$. Зокрема $L^{2}\subset L^{1}$, тобто випадкова величина зі скінченним другим моментом має скінченний перший момент.

Простори спряжені L^p

Нехай $\left(L^{p}\right)^{\star }$ є простором спряженим до $L^{p}\,$ (так званий копростір). За визначенням, елемент $g\in \left(L^{p}\right)^{\star }$ є лінійним функціоналом на $L^{p}\,$.

Теорема 4. Якщо $1<p<\infty$, то $\left(L^{p}\right)^{\star }$ ізоморфний $L^{q}\,$ (пишемо $\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$), де $1/p+1/q=1\,$. Будь-який лінійний функціонал на $L^{p}\,$ має вигляд:

$g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),$

де ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$.

Через симетрію рівняння $1/p+1/q=1\,$ сам простір $L^{p}\,$ є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до $L^{q}\,$, а отже:

$\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.$

Цей результат справедливий і для випадку $p=1\,$, тобто $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$. Проте $\left(L^{\infty }\right)^{\star }\not \cong L^{1}$ і, зокрема $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}$.

Простори l^p, 1 ≤ p ≤ ∞

Нехай $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$, де $m\,$ — зліченна міра на $\mathbb {N}$, тобто $m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N}$. Тоді якщо $p<\infty$, то й простір $L^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ є множиною послідовностей $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, таких що

$\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty .$

Відповідно, норма на цьому просторі задається

$\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$

Одержаний нормований простір позначається $l^{p}\,$.

Якщо $p=\infty$, то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою

$\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|.$

Одержаний нормований простір позначається $l^{\infty }$. Він є прикладом несепарабельного простору.

Як і в загальному випадку, поклавши $p=2\,$, ми одержуємо гільбертів простір $l^{2}\,$, норма якого породжена скалярним добутком

$\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}},$

якщо послідовності комплекснозначні, і

$\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n}},$

якщо вони дійсні.

Простір, дуальний $l^{p}\,$, де $1\leqslant p<\infty$ ізоморфний $l^{q}\,$, $1/p+1/q=1\,$.

Див. також

• Простір Гарді
• Ін'єктивний метричний простір

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.