Відкрити головне меню

Просторами в математиці називаються простори вимірних функцій, які при піднесенні до степеня (де ) є інтегровними за Лебегом.

— найважливіший клас банахових просторів. Окрім того, — класичний приклад гільбертового простору.

Побудова простору LpРедагувати

Визначення 1. Нехай задано простір з мірою  . Зафіксуємо   і розглянемо множину вимірних функцій, визначених на цьому просторі, таких що

 

Позначимо цю множину   або просто  .

Теорема 1.   є лінійним простором. Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега, а також нерівності Мінковського.

На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму:

 

Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.

Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою, бо якщо   майже всюди, то  , що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.

Визначення 2. Введемо на   відношення еквівалентності:

 , якщо   майже всюди.

Це відношення розбиває простір   на класи еквівалентності, причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.

Тоді на побудованому факторпросторі (тобто множині класів еквівалентності)   можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.

Визначення 3. Факторпростір   з побудованою на ньому нормою називається простором   або просто  .

При  ,   не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при    ), проте утворюють метричні простори.

Повнота простору LpРедагувати

Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику

 

а отже і поняття збіжності.

Визначення 3. Нехай є послідовність функцій  . Тоді ця послідовність збігається до функції  , якщо

  при  

Теорема 2. Простір   є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність   збігається до елементу цього ж простору. Таким чином,  банахів простір.

Простір L2Редагувати

У випадку   введена вище норма породжується скалярним добутком. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність, проекція і ін.

Визначення 4. Введемо на просторі   скалярний добуток таким чином:

 

у випадку, якщо дані функції комплекснозначні, або

 

якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:

 

тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого  , одержуємо:

Теорема 3. Простір  гільбертів.

Простір LРедагувати

Розглянемо простір   вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням

 

одержуємо банахів простір.

Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:

  у  , якщо   при  .

Властивості просторів LpРедагувати

  • Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі  . Нехай   при   і   при  ,  . Тоді   майже всюди. Але  . Зворотне твердження також невірне.
  • Якщо   при  , то існує підпослідовність  , така що   майже всюди.
  •   функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай   — підмножина  , що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді   всюди щільна в  .
  •  сепарабельний простір.
  • Якщо   — скінченна міра, наприклад, ймовірність, і  , то  . Зокрема  , тобто випадкова величина зі скінченним другим моментом має скінченний перший момент.

Простори спряжені LpРедагувати

Нехай   є простором спряженим до   (так званий копростір). За визначенням, елемент   є лінійним функціоналом на  .

Теорема 4. Якщо  , то   ізоморфний   (пишемо  ), де  . Будь-який лінійний функціонал на   має вигляд:

 

де  .

Через симетрію рівняння   сам простір   є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до  , а отже:

 

Цей результат справедливий і для випадку  , тобто  . Проте   і, зокрема  .

Простори lp, 1 ≤ p ≤ ∞Редагувати

Нехай  , де  зліченна міра на  , тобто  . Тоді якщо  , то й простір   є множиною послідовностей  , таких що

 

Відповідно, норма на цьому просторі задається

 

Одержаний нормований простір позначається  .

Якщо  , то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою

 

Одержаний нормований простір позначається  . Він є прикладом несепарабельного простору.

Як і в загальному випадку, поклавши  , ми одержуємо гільбертів простір  , норма якого породжена скалярним добутком

 

якщо послідовності комплекснозначні, і

 

якщо вони дійсні.

Простір, дуальний  , де   ізоморфний  ,  .

ЛітератураРедагувати