Відкрити головне меню

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою  , і на ньому визначена вимірна функція  .

Означення 1. Нехай  індикатор деякої вимірної множини  , де  . Тоді інтеграл Лебега функції   за означенням:

 

Означення 2. Нехай  проста функція  , де  , а   — скінченне розбиття   на вимірні множини. Тоді

 .

Означення 3. Нехай тепер   — невід’ємна функція, тобто  . Розглянемо всі прості функції  , такі ,що  . Позначимо це сімейство  . Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від   задається формулою:

 

Нарешті, якщо функція   довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

 

де

 .

Означення 4. Нехай   — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

 .

Означення 5. Нехай нарешті   довільна вимірна множина. Тоді за означенням

 ,

де  індикатор-функція множини  .

ПрикладРедагувати

Розглянемо функцію Діріхле  , задану на  , де  борелівська σ-алгебра на  , а  міра Лебега. Ця функція набуває значення   в раціональних точках і   в ірраціональних. Легко побачити, що   не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

 

Дійсно, міра відрізка   дорівнює 1, і так як множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, значить міра ірраціональних чисел дорівнює  .

ЗауваженняРедагувати

  • Так як  , вимірна функція   інтегровна за Лебегом тоді і тільки тоді, коли функція   інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується в відношенні інтеграла Рімана;
  • В залежності від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом .
  • Якщо функція визначена на ймовірносному просторі   і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла ЛебегаРедагувати

  • Інтеграл Лебега лінійний, тобто
 ,

де   — довільні константи;

  • Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо   майже скрізь, і   інтегровна, то інтегровна і  , і більш того
 ;
  • Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо   майже скрізь, то
 .

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функційРедагувати

ДжерелаРедагувати