Інтеграл Лебега

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, і на ньому визначена вимірна функція $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$.

Означення 1. Нехай $\,f$ — індикатор деякої вимірної множини $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$, де $A\in {\mathcal {F}}$. Тоді інтеграл Лебега функції $\,f$ за означенням:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).$

Означення 2. Нехай $\,f$ — проста функція $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$, де $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$, а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — скінченне розбиття $\,X$ на вимірні множини. Тоді

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$.

Означення 3. Нехай тепер $\,f$ — невід’ємна функція, тобто $f(x)\geq 0\;\forall x\in X$. Розглянемо всі прості функції $\,\{f_{s}\}$, такі ,що $f_{s}(x)\leq f(x)\;\forall x\in X$. Позначимо це сімейство ${\mathcal {P}}_{f}$. Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від $f$ задається формулою:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$

Нарешті, якщо функція $f$ довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

$\,f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

де

$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$.

Означення 4. Нехай $\,f$ — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$.

Означення 5. Нехай нарешті $A\in {\mathcal {F}}$ довільна вимірна множина. Тоді за означенням

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)$,

де $\mathbf {1} _{A}(x)$ — індикатор-функція множини $A$.

Приклад

Розглянемо функцію Діріхле $f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$, задану на $[0,1]$. Ця функція набуває значення $\,1$ у раціональних точках і $\,0$ — в ірраціональних. Легко побачити, що $\,f$ не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, на просторі зі скінченною мірою $({\mathcal {B}}([0,1]),m)$, де ${\mathcal {B}}([0,1])$ — борелівська σ-алгебра на $\,[0,1]$, а $\,m$ — міра Лебега, вона є простою функцією, бо набуває тільки двох значень, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

$\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Справді, міра відрізка $[0,1]$ дорівнює $1$. Оскільки множина раціональних чисел зліченна, то її міра $m(\mathbb {Q} _{[0,1]})$ дорівнює $0$. Значить міра ірраціональних чисел $m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})$ дорівнює $1-0=1$.

Зауваження

• Так оскільки $\,|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, то вимірна функція $\,f(x)$ інтегровна за Лебегом тоді й тільки тоді, коли функція $\,|f(x)|$ інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується для інтеграла Рімана;
• Залежно від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом.
• Якщо функція визначена на ймовірнісному просторі $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега

• Інтеграл Лебега лінійний, тобто

$\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$,

де $a,b\in \mathbb {R}$ — довільні константи;

• Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо $0\leq f(x)\leq g(x)$ майже скрізь, і $\,g(x)$ інтегровна, то інтегровна і $\,f(x)$, і більш того

$0\leq \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leq \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$;

• Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо $\,f(x)=g(x)$ майже скрізь, то

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$.

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій

• Теорема Леві про монотонну збіжність;
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність;
• Інтеграл Бохнера;
• Лема Фату.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)